Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 26

а) Исходное уравнение распадается на два. Первое — квадратное уравнение: \(2x^2 - 15x + 18 = 0.\) Решается стандартно: \(D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 81.\) Поэтому \(x_1 = \cfrac{15 - 9}{4} = \cfrac{3}{2},\) \(x_2 = \cfrac{15 + 9}{4} = 6.\)

Второе уравнение: $$\sin x \cdot \sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right) + 0{,}25 = 0$$ $$- \sin x \cdot \cos x = - \frac{1}{4}$$ $$\sin 2x = \frac{1}{2}$$ Значит, \(2x = \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}\) и \(2x = \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}.\) Окончательно \(x = \cfrac{\pi}{12} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}\) и \(x = \cfrac{5 \pi}{12} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\)

б) Отбор корней. Так как \(3 < \pi ,\) то \(\cfrac{3}{2} < \cfrac{\pi}{2}\) и корень \(\cfrac{3}{2}\) не принадлежит отрезку из пункта б).

Далее, так как \(\pi < 12 < 4 \pi ,\) то \(\cfrac{\pi}{2} < 6 < 2 \pi\) и корень \(6\) принадлежит отрезку из пункта б).

Наконец $$\frac{\pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{12} + \pi n \leqslant 2 \pi$$ $$6 \leqslant 1 + 12 n \leqslant 24$$ $$5 \leqslant 12 n \leqslant 23$$ Поэтому \( n = 1,\) а соответствующий корень будет \(\cfrac{13 \pi}{2}.\)

И $$\frac{\pi}{2} \leqslant \frac{5 \pi}{12} + \pi k \leqslant 2 \pi$$ $$6 \leqslant 5 + 12 k \leqslant 24$$ $$1 \leqslant 12 k \leqslant 19$$ Поэтому \( k = 1,\) а соответствующий корень будет \(\cfrac{17 \pi}{2}.\)

Ответ: \(\cfrac{3}{2};\) \(6;\) \(\cfrac{\pi}{12} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{5 \pi}{12} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{13 \pi}{2};\) \(\cfrac{17 \pi}{2};\) \(6.\)