Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 27

а) $$\left. \frac{1}{6} \cdot 6^{2x} + \frac{2}{5} \cdot 5^{2x} - \frac{16}{30} \cdot 5^x \cdot 6^x = 0 \,\, \right| \cdot \frac{30}{5^{2x}}$$ $$6 \cdot \left( \frac{6}{5} \right)^{2x} + 12 - 16 \cdot \left( \frac{6}{5} \right)^x = 0$$ Заменой $$t = \left( \frac{6}{5} \right)^x$$ это уравнение приводится к квадратному: $$5t^2 - 16t + 12 = 0$$ $$D = (16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12 = 16$$ $$t_1 = \frac{16 - 4 }{10} = \frac{6}{5}; \, \, t_2 = \frac{16 +4 }{10} = 2.$$ Обратная замена: $$\left( \frac{6}{5} \right)^x = \frac{6}{5} \, \Rightarrow \, x = 1$$ $$\left( \frac{6}{5} \right)^x = 2 \, \Rightarrow \, x = \log_{\frac{6}{5}} 2$$

б) Отбор корней. \(0{,}5 < 1 < 4 ,\) значит корень \(1\) принадлежит отрезку из пункта б).

Рассмотрим второй корень. С одной стороны \(2 > \cfrac{6}{5},\) поэтому \(\log_{\frac{6}{5}} 2 > \log_{\frac{6}{5}} \cfrac{6}{5} = 1 > 0{,}5.\) Сравним теперь \(\log_{\frac{6}{5}} 2 \) и \(4:\) $$\log_{\frac{6}{5}} 2 \lor 4$$ $$2 \lor \left( \frac{6}{5} \right)^4$$ $$2 \cdot 5^4 \lor 6^4$$ $$1250 \lor 1296$$ Получаем, что \(1250 < 1296 \, \Rightarrow\) \(\log_{\frac{6}{5}} 2 < 4 \) и, поэтому корень \(\log_{\frac{6}{5}} 2 \) также принадлежит отрезку из пункта б).

Ответ: а) \(1;\) \(\log_{\frac{6}{5}} 2 ;\) б) а) \(1;\) \(\log_{\frac{6}{5}} 2 .\)