Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 28

а) $$\left. 5 \cdot 5^{2x} + \frac{12}{5} \cdot 4^{2x} - 7 \cdot 4^x \cdot 5^x = 0 \,\, \right| \cdot \frac{5}{4^{2x}}$$ $$25 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^{2x} - 35 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^x + 12 = 0$$ Заменой $$t = \left( \frac{5}{4} \right)^x$$ это уравнение приводится к квадратному: $$25 t^2 - 35 t + 12 = 0$$ $$D = (-35)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 12 = 25$$ $$t_1 = \frac{35 - 5}{2 \cdot 25} = \frac{3}{5} ; \,\, t_2 = \frac{35 + 5}{2 \cdot 25} = \frac{4}{5}$$ Обратная замена: $$\left( \frac{5}{4} \right)^x = \frac{3}{5} \, \Rightarrow \, x = \log_{\frac{5}{4}} \frac{3}{5}$$ $$\left( \frac{5}{4} \right)^x = \frac{4}{5} \, \Rightarrow \, x = \log_{\frac{5}{4}} \frac{4}{5} = -1$$

б) Отбор корней. Так как \(-2{,}5 < -1 < - 0{,}5,\) то корень \(-1\) принадлежит отрезку из пункта б).

Рассмотрим другой корень. С одной стороны, $$\frac{3}{5} < \frac{4}{5} \, \Rightarrow \, \log_{\frac{5}{4}} \frac{3}{5} < \log_{\frac{5}{4}} \frac{4}{5} = -1 < 0{,}5$$ Сравним теперь \(\log_{\frac{5}{4}} \cfrac{3}{5}\) с \(-2{,}5 = -\cfrac{5}{2} :\) $$\log_{\frac{5}{4}} \cfrac{3}{5} \lor - \frac{5}{2}$$ $$\frac{3}{5} \lor \left( \frac{5}{4} \right)^{- \frac{5}{2}}$$ $$\frac{3}{5} \lor \left( \frac{4}{5} \right)^{\frac{5}{2}}$$ $$\frac{9}{25} \lor \left( \frac{4}{5} \right)^5$$ $$9 \cdot 5^3 \lor 4^5$$ $$1125 \lor 1024$$ $$1125 > 1024 \, \Rightarrow \, \log_{\frac{5}{4}} \cfrac{3}{5} > - \frac{5}{2}$$ Значит, корень \(\log_{\frac{5}{4}} \cfrac{3}{5} \) также принадлежит отрезку из пункта б).

Ответ: а) \(-1;\) \(\log_{\frac{5}{4}} \cfrac{3}{5};\) б) \(-1;\) \(\log_{\frac{5}{4}} \cfrac{3}{5}.\)