Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 29

а) $$4 \log_2^2 (\sin x ) + 6 \log_2 (\sin x ) + 2 = 0 $$ Заменой \( t = \log_2 (\sin x)\) это уравнение сводится к квадратному \(2 t^2 + 3t + 1 = 0.\) По теореме Виета находим корни: \(t_1 = -1\) и \(t_2 = - \cfrac{1}{2}.\)

Обратная замена. \(\log_2 (\sin x) = -1 \, \Rightarrow \) \(\sin x = \cfrac{1}{2} \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}\) и \(x = \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\)

\(\log_2 (\sin x) = - \cfrac{1}{2} \, \Rightarrow \) \(\sin x = \cfrac{\sqrt{2}}{2} \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{\pi}{4} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\) и \(x = \cfrac{3 \pi}{4} + 2 \pi p, \, p \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I. $$- \frac{7 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{6} + 2 \pi n \leqslant - 2 \pi$$ $$-21 \leqslant 1 + 12 n \leqslant -12$$ $$-22 \leqslant 12 n \leqslant -13$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.

II. $$- \frac{7 \pi}{2} \leqslant \frac{5\pi}{6} + 2 \pi m \leqslant - 2 \pi$$ $$-21 \leqslant 5 + 12 m \leqslant -12$$ $$-26 \leqslant 12 m \leqslant -17$$ Отсюда \(m = -2,\) а соответствующий корень будет \(-\cfrac{19 \pi}{6}.\)

III. $$- \frac{7 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{4} + 2 \pi k \leqslant - 2 \pi$$ $$-14 \leqslant 1 + 8 k \leqslant -8$$ $$-15 \leqslant 8k \leqslant -9$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.

IV. $$- \frac{7 \pi}{2} \leqslant \frac{3\pi}{4} + 2 \pi p \leqslant - 2 \pi$$ $$-14 \leqslant 3 + 8 p \leqslant -8$$ $$-17 \leqslant 8 p \leqslant -11$$ Отсюда \(p = -2,\) а соответствующий корень равен \(- \cfrac{13 \pi}{4}.\)

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{6} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{\pi}{4} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{3\pi}{4} + 2 \pi p, \, p \in \mathbb{Z};\) б) \(-\cfrac{19 \pi}{6};\) \(- \cfrac{13 \pi}{4}.\)