Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 30

а) $$ \log_4^2 (\cos 2x) = - \frac{1}{2} \log_4 (\cos 2x)$$ $$\log_4 (\cos 2x) \cdot \left( \log_4 (\cos 2x) + \frac{1}{2} \right) = 0$$ Первое уравнение: \(\log_4 (\cos 2x) = 0 \, \Rightarrow \) \( \cos 2x = 1, \, \Rightarrow\) \( 2x = 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \, \Rightarrow \) \( x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\)

Второе уравнение: \( \log_4 (\cos 2x ) = - \cfrac{1}{2} \, \Rightarrow \) \( \cos 2x = \cfrac{1}{2}, \, \Rightarrow \) \( 2x = \cfrac{\pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\) или \( 2x = -\cfrac{\pi}{3} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\) Окончательно \( x = \cfrac{\pi}{6} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\) или \( x = -\cfrac{\pi}{6} + \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I. $$3 \pi \leqslant \pi n \leqslant \frac{9 \pi}{2}$$ $$6 \leqslant 2n \leqslant 9$$ Отсюда \(n = 3; \, 4\) и соответствующие корни: \(3 \pi ;\) \(4 \pi .\)

II. $$3 \pi \leqslant \frac{\pi}{6} + \pi k \leqslant \frac{9 \pi}{2}$$ $$18 \leqslant 1 + 6k \leqslant 27$$ $$17 \leqslant 6k \leqslant 26$$ Отсюда \(k = 3; \, 4\) и соответствующие корни: \(\cfrac{19 \pi}{6} ;\) \(\cfrac{25 \pi}{6} .\)

III. $$3 \pi \leqslant -\frac{\pi}{6} + \pi m \leqslant \frac{9 \pi}{2}$$ $$18 \leqslant -1 + 6m \leqslant 27$$ $$19 \leqslant 6m \leqslant 28$$ Отсюда \(m = 4\) и соответствующий корень \(\cfrac{23 \pi}{6} .\)

Ответ: а) \(\pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{\pi}{6} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(-\cfrac{\pi}{6} + \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(3 \pi ;\) \(\cfrac{19 \pi}{6} ;\) \(\cfrac{23 \pi}{6} ;\) \(4 \pi ;\) \(\cfrac{25 \pi}{6} .\)