Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 31

а) $$2 \cdot \left( 1 - \cos^2 x \right) - 3 \cos x - 3 = 0$$ $$2 \cos^2 x + 3 \cos x + 1 = 0$$ Заменой \(t = \cos x\) это уравнение сводится к квадратному \(2t^2 +3t + 1 = 0.\) Его корни легко находятся по теореме Виета: \(t_1 = -1;\) \(t_2 = - \cfrac{1}{2}.\)

Обратная замена. \(\cos x = -1 \, \Rightarrow \) \(x = \pi + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\)

\(\cos x = -\cfrac{1}{2} \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\) и \(x = -\cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I. $$2 \pi \leqslant \pi + 2 \pi n \leqslant \frac{7 \pi}{2}$$ $$4 \leqslant 2 + 4 n \leqslant 7$$ $$2 \leqslant 2 n \leqslant 5$$ Отсюда \(n = 1\) и соответствующий корень равен \(3 \pi.\)

II. $$2 \pi \leqslant \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k \leqslant \frac{7 \pi}{2}$$ $$12 \leqslant 4 + 12 k \leqslant 21$$ $$8 \leqslant 12 k \leqslant 17$$ Отсюда \(k = 1\) и соответствующий корень равен \(\cfrac{8 \pi}{3}.\)

III. $$2 \pi \leqslant - \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi m \leqslant \frac{7 \pi}{2}$$ $$12 \leqslant -4 + 12 m \leqslant 21$$ $$16 \leqslant 12 m \leqslant 25$$ Отсюда \(m = 2\) и соответствующий корень равен \(\cfrac{10 \pi}{3}.\)

Ответ: а) \(\pi + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(-\cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{8 \pi}{3};\) \(3 \pi ;\) \(\cfrac{10 \pi}{3}.\)