Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 33

а) $$4^{x} \cdot \left( \frac{1}{8} \cdot 4^{\sqrt{x}} + 24 \cdot 4^{- \sqrt{x}} - 4 \right) = 0$$ Так как \(4^x > 0\) для любых действительных чисел, то равно нулю только выражение в скобках. Заменой \(t = 4^{\sqrt{x}}\) оно приводится к виду: $$\left. \frac{t}{8} + \frac{24}{t} - 4 = 0 \,\, \right| \cdot 8t$$ $$t^2 -32 t + 192 = 0, \, \Rightarrow \, \frac{D}{4} = (-16)^2 - 192 = 64$$ $$t_1 = 16 - 8 = 8, \,\, t_2 = 16 + 8 = 24$$ Обратная замена. \(4^{\sqrt{x}} = 8 \, \Rightarrow\) \(2^{2 \sqrt{x}} = 2^3 \, \Rightarrow\) \(\sqrt{x} = \cfrac{3}{2} \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{9}{4}.\)

\(4^{\sqrt{x}} = 24 \, \Rightarrow\) \(\sqrt{x} = \log_4 24 \, \Rightarrow \) \(x = \log_4^2 24 .\)

б) Отбор корней. Так как \(2 < \cfrac{9}{4} < 6,\) то корень \(\cfrac{9}{4}\) принадлежит отрезку из пункта б).

Рассмотрим другой корень \(\log_4^2 24.\) С одной стороны \(\log_4 24 > \log_4 16 = 2,\) а поэтому \(\log_4^2 24 > 4 > 2.\) Осталось сравнить этот корень с \(6.\) Для этого сначала заметим, что \(\log_4^2 24 = \cfrac{1}{4} \log_2^2 24.\) Поэтому $$\cfrac{1}{4} \log_2^2 24 \lor 6$$ $$\log_2^2 24 \lor 24$$ $$\log_2 24 \lor \sqrt{24}$$ Теперь заметим, что \(23{,}04 = (4{,}8)^2 < 24 < 24{,}01 = (4{,}9)^2.\) Проведём другое сравнение $$\log_2 24 \lor \sqrt{23{,}04}$$ $$\log_2 24 \lor \frac{24}{5}$$ $$24 \lor 2^{\frac{24}{5}}$$ $$24^5 \lor 2^{24}$$ $$8^5 \cdot 3^5 \lor 2^{24}$$ $$3^5 \lor 2^9$$ $$243 < 512$$ Значит \(\log_2 24 < 4{,}8 < \sqrt{24},\) а поэтому \(\log_4^2 24 < 6.\) Корень \(\log_4^2 24 \) принадлежит отрезку из пункта б).

Ответ: а) \(\cfrac{9}{4};\) \(\log_4^2 24; \) б) \(\cfrac{9}{4};\) \(\log_4^2 24. \)