Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 34

а) $$5^x \left( \frac{1}{5} \cdot 5^{-\sqrt{x}} + 30 \cdot 5^{- \sqrt{x}}- 5 \right) = 0$$ Так как \(5^x > 0\) для всех действительных чисел, то нулю равно только выражение в скобках. Заменой \(t = 5^{\sqrt{x}}\) оно приводится к виду $$\left. \frac{t}{5} + \frac{30}{t} - 5 = 0 \,\, \right| \cdot 5t$$ $$t^2 - 25t + 150 = 0$$ По теореме Виета корни этого уравнения равны \(t_1 = 10\) и \(t_2 = 15.\)

Обратная замена. \(5^{\sqrt{x}} = 10 \, \Rightarrow\) \(\sqrt{x} = \log_5 10 \, \Rightarrow \) \(x = \log_5^2 10 .\)

\(5^{\sqrt{x}} = 15 \, \Rightarrow\) \(\sqrt{x} = \log_5 15 \, \Rightarrow \) \(x = \log_5^2 15 .\)

б) Отбор корней. Сначала замечаем, что \(\log_5 15 > \log_5 10 > \log_5 5 = 1.\) Поэтому \(\log_5^2 15 > \log_5^2 10 > 1.\) Осталось сравнить эти корни с \(2{,}56 = (1{,}6)^2.\) $$\log_5^2 10 \lor (1{,}6)^2$$ $$\log_5 10 \lor \frac{8}{5}$$ $$10 \lor 5^{\frac{8}{5}}$$ $$10^5 \lor 5^8$$ $$5^5 \cdot 2^5 \lor 5^8$$ $$2^5 \lor 5^3$$ $$32 \lor 125$$ Получаем, что \(32 < 125 \, \Rightarrow \) \(\log_5^2 10 < 2{,}56.\) Поэтому корень \(\log_5^2 10\) принадлежит отрезку из пункта б). $$\log_5^2 15 \lor (1{,}6)^2$$ $$\log_5 15 \lor \frac{8}{5}$$ $$15 \lor 5^{\frac{8}{5}}$$ $$15^5 \lor 5^8$$ $$5^5 \cdot 3^5 \lor 5^8$$ $$3^5 \lor 5^3$$ $$243 \lor 125$$ Получаем, что \(243 > 125 \, \Rightarrow \) \(\log_5^2 15 > 2{,}56.\) Поэтому корень \(\log_5^2 15\) не принадлежит отрезку из пункта б).

Ответ: а) \(\log_5^2 10 ;\) \(\log_5^2 15 ;\) б) \(\log_5^2 10 .\)