Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 36

а) $$25^{\cos 3x} \cdot 30^{\cos 3x} - 30 \cdot 30^{\cos 3x} = 125^{\cos 3x} \cdot 25^{\cos 3x} - 30 \cdot 125^{\cos 3x}$$ $$30^{\cos 3x} \cdot \left( 25^{\cos 3x} - 30 \right) = 125^{\cos 3x} \cdot \left( 25^{\cos 3x} - 30 \right)$$ $$\left( 30^{\cos 3x} - 125^{\cos 3x} \right) \left( 25^{\cos 3x} - 30 \right) = 0$$ Получаем два уравнения. Первое $$30^{\cos 3x} = 125^{\cos 3x}$$ $$\left( \frac{30}{125} \right)^{\cos 3x} = 1$$ $$\cos 3x = 0 \, \Rightarrow \, 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \, \Rightarrow \, x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \, n \in \mathbb{Z}$$ Второе уравнение: $$25^{\cos 3x} = 30 \, \Rightarrow \, \cos 3x = \log_{25} 30 > 1$$ Это уравнение не имеет решений в целых числах.

б) Отбор корней. $$- \frac{7 \pi}{4} \leqslant \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} \leqslant - \frac{3 \pi}{4}$$ $$-42 \leqslant 4 + 8n \leqslant -18$$ $$- 46 \leqslant 8n \leqslant -22$$ Отсюда получаем, что \(n = -5; \, -4; \, -3,\) а соответствующие корни будут \(-\cfrac{3 \pi}{2};\) \(-\cfrac{7 \pi}{6};\) \(-\cfrac{5 \pi}{6}.\)

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{6} + \cfrac{\pi n}{3}, \, n \in \mathbb{Z};\) б) \(-\cfrac{3 \pi}{2};\) \(-\cfrac{7 \pi}{6};\) \(-\cfrac{5 \pi}{6}.\)