Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 4

а) $$4 \cdot 2^{-20x}- 29 \cdot 32^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{-10x} + 400 = 0$$ $$4 \cdot 2^{-20x}- 29 \cdot 4 \cdot 2^{-10x} + 400 = 0$$ Делим левую у правую часть уравнения на \(4\) и производим замену \(y = 2^{-10x}.\) $$y^2 - 29y + 100 = 0$$ По теореме Виета \(y_1 = 25,\) \(y_2 = 4.\) Обратная замена $$2^{-10x} = 25 \, \Rightarrow \, -10x = \log_2 5^2 \, \Rightarrow \, x = -\frac{1}{5} \log_2 5$$ $$2^{-10x} = 4 \, \Rightarrow \, -10x = 2 \, \Rightarrow \, x = - \frac{1}{5}$$

б) Отбор корней. Очевидно, что \(-0{,}5 = - \cfrac{5}{10} < - \cfrac{2}{10} = -\cfrac{1}{5} < 0.\) Корень \(- \cfrac{1}{5}\) принадлежит указанному в пункте б) отрезку.

Рассмотрим теперь корень \(x_2 = - \cfrac{1}{5} \log_2 5.\) С одной стороны \(x_2 < 0.\) Сравним его с \(-0{,}5 = - \cfrac{1}{2}:\) $$\frac{1}{5} \log_2 5 \lor \frac{1}{2}$$ $$\log_2 5 \lor \frac{5}{2}$$ $$5 \lor 2^{\frac{5}{2}} = (32)^{\frac{1}{2}}$$ $$(25)^{\frac{1}{2}} \lor (32)^{\frac{1}{2}}$$ $$(25)^{\frac{1}{2}} < (32)^{\frac{1}{2}} \,\, \Rightarrow \,\, \frac{1}{5} \log_2 5 < \frac{1}{2} \,\, \Rightarrow \,\, -\frac{1}{5} \log_2 5 > -\frac{1}{2}$$ Значит, корень \(-\cfrac{1}{5} \log_2 5\) принадлежит указанному в пункте б) отрезку.

Ответ: а) \(-\cfrac{1}{5} \log_2 5; \, - \cfrac{1}{5};\) б) \(-\cfrac{1}{5} \log_2 5; \, - \cfrac{1}{5}.\)