Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 5

а) Пусть \(\log_2 (x+2) = y,\) тогда \(\log_{0{,}5} (x+2) = -y,\) \(\log_{16} (x+2) = \cfrac{1}{4} y,\) \(\log_4 (x+2) = \cfrac{1}{2} y.\) После такой замены уравнение примет вид $$\left. \frac{1}{2} y^3 + y^2 - \frac{1}{2} y - 1 = 0\right| \cdot 2$$ $$y^3 + 2y^2 - y - 2 = 0 \, \Rightarrow \, y^3 - y + 2y^2 - 2 = 0 \, \Rightarrow$$ $$y (y^2 - 1) + 2 (y^2 -1) = 0 \, \Rightarrow \, (y+2)(y-1)(y+1) = 0.$$ Т.о. \(y_1 = -2,\) \(y_2 = 1,\) \(y_3 = -1.\) Обратная замена: $$y = 2 \, \Rightarrow \, \log_2 (x+2) = -2 \, \Rightarrow \, x+2 = \frac{1}{4} \, \Rightarrow x = - \frac{7}{4}$$ $$y = 1 \, \Rightarrow \, \log_2 (x+2) = 1 \, \Rightarrow \, x+2 = 2 \, \Rightarrow x = 0$$ $$y = -1 \, \Rightarrow \, \log_2 (x+2) = -1 \, \Rightarrow \, x+2 = \frac{1}{2} \, \Rightarrow x = - \frac{3}{ 2}$$

б) Отбор корней. Так как \(4 > 1\) и \(0{,}4 < 1,\) то \(\log_4 0{,}4 < 0,\) и, поэтому корень \(x = 0\) не принадлежит отрезку из пункта б).

Корень \(x = - \cfrac{7}{4}.\) Сравним его с \(\log_{0{,}4} 4 = - \log_{\frac{5}{2}} 4:\) $$\frac{7}{4} \lor \log_{\frac{5}{2}} 4$$ $$\left( \frac{5}{2} \right)^{\frac{7}{4}} \lor 4$$ $$\left( \frac{5}{2} \right)^7 \lor 4^4$$ $$5^7 \lor 2^7 \cdot 4^4$$ Теперь, \(5^7 = 5^3 \cdot 5^4 = 125 \cdot 625 > 100 \cdot 600 = 60~000\) и \(2^7 \cdot 4^4 = 2^{15} = 1024 \cdot 32 < 1100 \cdot 32 = 35~200\). Значит $$5^7 >60~000 > 35~200 > 2^7 \cdot 4^4$$ $$\frac{7}{4} > \log_{\frac{5}{2}} 4$$ $$-\frac{7}{4} < - \log_{\frac{5}{2}} 4$$ Корень \(x = - \cfrac{7}{4}\) не принадлежит отрезку, указанному в пункте б).

Корень \(x = - \cfrac{3}{2}.\) Сравним его с \(\log_{0{,}4} 4 = - \log_{\frac{5}{2}} 4:\) $$\frac{3}{2} \lor \log_{\frac{5}{2}} 4$$ $$\left( \frac{5}{2} \right)^{\frac{3}{2}} \lor 4$$ $$\left( \frac{5}{2} \right)^3 \lor 16$$ $$5^3 \lor 8 \cdot 16$$ $$125 < 128 \, \Rightarrow \, \frac{3}{2} < \log_{\frac{5}{2}} 4$$ $$-\frac{3}{2} > \log_{0{,}4} 4$$ Теперь сравним его с \(\log_4 0{,}4 = - \log_4 \cfrac{5}{2}:\) $$\frac{3}{2} \lor \log_4 \frac{5}{2}$$ $$4^{\frac{3}{2}} \lor \frac{5}{2}$$ $$4^3 \lor \frac{25}{4}$$ $$64 > \frac{25}{4} \, \Rightarrow \, \frac{3}{2} > \log_4 \frac{5}{2}$$ $$- \frac{3}{2} < \log_4 0{,}4$$ Корень \(x = - \cfrac{3}{2}\) принадлежит отрезку из пункта б).

Ответ: а) \(- \cfrac{7}{4}; \, -\cfrac{3}{2}; \, 0;\) б) \(-\cfrac{3}{2}.\)