Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 6
- Просмотры: 4056
- Изменено: 27 октября 2025
а) Решите уравнение $$\log_3^3 (x - 3)^2 + 8 \log_3 \frac{1}{(x-3)} + 16 = \log_3^2 \frac{1}{(x-3)^4}$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\log_{0{,}6} \cfrac{1}{6} ; \, \log_{0{,}8} \cfrac{1}{8} \right].\)
Решение:
а) Пусть \(y = \log_3 (x-3).\) Тогда \(\log_3 (x-3)^2 = 2y,\) \(\log_3 \cfrac{1}{x-3} = -y,\) \(\log_3 \cfrac{1}{(x-3)^4} = -4y.\) Получаем следующее уравнение: $$(2y)^3 - 8y + 16 = 16 y^2$$ $$y^3 - 2y^2 - y + 2 = 0$$ $$y^2 (y-2) - (y-2) = 0$$ $$(y-2)(y-1)(y+1) = 0$$ Это уравнение имеет три корня: \(2; \, 1; \, -1.\)
Обратная замена: $$y = 2 \, \Rightarrow \, \log_3 (x-3) = 2 \, \Rightarrow \, x - 3 = 9 \, \Rightarrow \, x = 12.$$ $$y = 1 \, \Rightarrow \, \log_3 (x-3) = 1 \, \Rightarrow \, x - 3 = 3 \, \Rightarrow \, x = 6.$$ $$y = -1 \, \Rightarrow \, \log_3 (x-3) = -1 \, \Rightarrow \, x - 3 = \frac{1}{3} \, \Rightarrow \, x = \frac{10}{3}.$$
б) Отбор корней. Сравним \(12\) и \(\log_{0{,}8} \cfrac{1}{8} = \log_{\frac{5}{4}} 8:\) $$12 \lor \log_{\frac{5}{4}} 8$$ $$\left( \frac{5}{4} \right)^{12} \lor 8$$ $$5^{12} \lor 4^{12} \cdot 8$$ $$5^{12} \lor 2^{27}$$ $$625 \cdot 625 \cdot 625 > 512 \cdot 512 \cdot 512$$ $$12 > \log_{0{,}8} \frac{1}{8}$$ Корень \(12\) не принадлежит отрезку из пункта б).
Сравниваем \(6\) и \(\log_{0{,}6} \cfrac{1}{6} = \log_{\frac{5}{3}} 6:\) $$6 \lor \log_{\frac{5}{3}} 6$$ $$\left(\frac{5}{3} \right)^6 \lor 6$$ $$5^6 \lor 3^6 \cdot 6$$ $$5^6 = 5^3 \cdot 5^3 = 125 \cdot 125 > 100 \cdot 100 = 10~000 > 4~800 = 800 \cdot 6 > 729 \cdot 6 = 3^6 \cdot 6$$ Поэтому \(6 > \log_{0{,}6} \cfrac{1}{6}.\)
Сравниваем \(6\) и \(\log_{0{,}8} \cfrac{1}{8} = \log_{\frac{5}{4}} 8:\) $$6 \lor \log_{\frac{5}{4}} 8$$ $$\left(\frac{5}{4} \right)^6 \lor 8$$ $$5^6 \lor 4^6 \cdot 8 = 2^{15}$$ $$5^6 = 5^3 \cdot 5^3 = 125 \cdot 125 < 150 \cdot 150 = 22~500 < 30~000 = 1000 \cdot 30 < 1024 \cdot 32 = 2^{10} \cdot 2^5 = 2^{15}$$ Поэтому \(6 < \log_{0{,}8} \cfrac{1}{8}.\) Делаем вывод, что корень \(6\) принадлежит отрезку из пункта б).
Сравниваем \(\cfrac{10}{3}\) и \(\log_{0{,}6} \cfrac{1}{6} = \log_{\frac{5}{3}} 6:\) $$\frac{10}{3} \lor \log_{\frac{5}{3}} 6$$ $$\left( \frac{5}{3} \right)^{\frac{10}{3}} \lor 6$$ $$\left( \frac{5}{3} \right)^{10} \lor 6^3$$ $$5^{10} \lor 3^{10} \cdot 6^3$$ $$25 \cdot 25 \cdot 25 \cdot 25 \cdot 25 \lor 27 \cdot 27 \cdot 27 \cdot 27 \cdot 24$$ Так как \(25 \cdot 25 = 625 < 648 = 27 \cdot 24,\) то $$\frac{10}{3} < \log_{0{,}6} \frac{1}{6}$$ и корень \(\cfrac{10}{3}\) не принадлежит отрезку из пункта б).
Ответ: а) \(\cfrac{10}{3}; \, 6; \, 12;\) б) \(6.\)
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования