Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 7

а) Уравнение в пункте а) равно нулю, если числитель равен нулю и при этом не равен нулю знаменатель. Рассмотрим эти случаи по отдельности, а потом сведём всё вместе. $$\sin^4 x - \sin \left( 2x - \cfrac{\pi}{2} \right) - \cos^2 x = 0$$ $$\sin^4 x + \cos 2x - \cos^2 x = 0$$ $$\sin^4 x + \cos^2 x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0$$ $$\sin^2 x \left( \sin^2 x - 1 \right) = 0$$ $$\sin^2 x \cos^2 x = 0$$ Таким образом, числитель равен нулю, если \(\sin x = 0\) или \(\cos x = 0,\) т.е. при \(x = \cfrac{\pi k}{2}, \, k \in \mathbb{Z}.\)

Найдём теперь те точки, в которых знаменатель равен нулю и исключим их из только что найденного множества корней. $$2 \sin^2 \left( \cfrac{x}{4} - \cfrac{\pi}{4} \right) + 3 \cos \left( \cfrac{\pi}{4} - \cfrac{x}{4} \right) - 2 = 0$$ $$2 \left( 1 - \cos^2 \left( \cfrac{\pi}{4} - \cfrac{x}{4} \right) \right) + 3 \cos \left( \cfrac{\pi}{4} - \cfrac{x}{4} \right) - 2 = 0$$ $$\cos \left( \cfrac{\pi}{4} - \cfrac{x}{4} \right) \left( 3 - 2 \cos \left( \cfrac{\pi}{4} - \cfrac{x}{4} \right) \right) = 0$$ Уравнение $$3 - 2 \cos \left( \cfrac{\pi}{4} - \cfrac{x}{4} \right) = 0$$ не имеет решений в действительных числах. Значит $$\cos \left( \cfrac{\pi}{4} - \cfrac{x}{4} \right) = 0$$ $$\frac{x}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi l, \, l \in \mathbb{Z}$$ $$x = 3 \pi + 4 \pi l, \, l \in \mathbb{Z}$$ Поэтому, из множества точек, в которых числитель обращается в нуль нужно исключить точки \(3 \pi + 4 \pi l, \, l \in \mathbb{Z}.\)

Отметим множество корней числителя на тригонометрической окружности:

Все точки, отмеченные синим цветом, являются решением нашего уравнения. А среди красных точек имеются те, в которых знаменатель обращается в нуль. Точки \(A\) — это \(2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\) Точки \(B\) и \(C\) — это \(\cfrac{\pi}{2} + \pi q, \, q \in \mathbb{Z}.\) Выпишем несколько подряд идущих точек \(D\) и вычеркнем те из них, в которых знаменатель обращается в нуль: $$\ldots, \, \cancel{-5 \pi}, \, -3 \pi, \, \cancel{- \pi}, \, \pi, \, \cancel{3 \pi}, \, 5 \pi, \, \cancel{7 \pi}, \, \ldots$$ Видим, что невычеркнутые точки — это \(\pi + 4 \pi r, \, r \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I $$0 \leqslant 2 \pi n \leqslant 4 \pi$$ $$0 \leqslant n \leqslant 2$$ Значит, \(n = 0, \, 1, \, 2 \, \Rightarrow\) \(x = 0, \, 2 \pi, \, 4 \pi.\)

II $$0 \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi q \leqslant 4 \pi$$ $$0 \leqslant 1 + 2 q \leqslant 8$$ $$-1 \leqslant 2 q \leqslant 7$$ Значит, \(q = 0, \, 1, \, 2, \, 3 \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{\pi}{2}, \, \cfrac{3\pi}{2}, \, \cfrac{5 \pi}{2}, \, \cfrac{7 \pi}{2}.\)

III $$0 \leqslant \pi + 4 \pi r \leqslant 4 \pi$$ $$0 \leqslant 1 + 4r \leqslant 4$$ $$-1 \leqslant 4r \leqslant 3$$ Значит, \(r = 0 \, \Rightarrow \) \(x = \pi.\)

Ответ: а) \(2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{\pi}{2} + \pi q, \, q \in \mathbb{Z};\) \(\pi + 4 \pi r, \, r \in \mathbb{Z};\) б) \(0; \, \cfrac{\pi}{2}; \, \pi ; \, \cfrac{3 \pi}{2}; \, 2 \pi ; \, \cfrac{5 \pi}{2}; \, \cfrac{7 \pi}{2}; \, 4 \pi .\)