Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 8

а) Уравнение в пункте а) равно нулю, если числитель равен нулю и при этом не равен нулю знаменатель. Рассмотрим эти случаи по отдельности, а потом сведём всё вместе. $$\cos^4 x + \sin \left( \cfrac{3 \pi}{2} + 2x \right) - \sin^2 x = 0$$ $$\cos^4 x - \cos 2x - \sin^2 x = 0$$ $$\cos^4 x - \cos^2 x + \sin^2 x - \sin^2 x = 0$$ $$\cos^2 x \left( \cos^2 x - 1 \right) = 0$$ $$\sin^2 x \cos^2 x = 0$$ Таким образом, числитель равен нулю, если \(\sin x = 0\) или \(\cos x = 0,\) т.е. при \(x = \cfrac{\pi l}{2}, \, l \in \mathbb{Z}.\)

Найдём теперь те точки, в которых знаменатель равен нулю и исключим их из только что найденного множества корней. $$2 \cos^2 \left( -\cfrac{\pi}{8} - \cfrac{x}{4} \right) - 5 \cos \left( \cfrac{x}{4} + \cfrac{\pi}{8} \right) - 2 = 0$$ $$2 \left( 1 - \sin^2 \left( \cfrac{x}{4} + \cfrac{\pi}{8} \right) \right) - 5 \sin \left( \cfrac{x}{4} + \cfrac{\pi}{8} \right) - 2 = 0$$ $$ -\sin \left( \cfrac{x}{4} + \cfrac{\pi}{8} \right) \left( 5 + 2 \sin \left( \cfrac{x}{4} + \cfrac{\pi}{8} \right) \right) = 0$$ Уравнение $$5 + 2 \sin \left( \cfrac{x}{4} + \cfrac{\pi}{8} \right) = 0$$ не имеет решений в действительных числах. Значит $$\sin \left( \cfrac{x}{4} + \cfrac{\pi}{8} \right) = 0$$ $$\frac{x}{4} + \frac{\pi}{8} = \pi q, \, q \in \mathbb{Z}$$ $$x = - \frac{\pi}{2} + 4 \pi q, \, q \in \mathbb{Z}$$ Поэтому, из множества точек, в которых числитель обращается в нуль нужно исключить точки \(- \cfrac{\pi}{2} + 4 \pi q, \, q \in \mathbb{Z}.\)

Отметим множество корней числителя на тригонометрической окружности:

Все точки, отмеченные синим цветом, являются решением нашего уравнения. А среди красных точек имеются те, в которых знаменатель обращается в нуль. Точки \(A\) и \(C\) — это \(\pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\) Точка \(B\) — это \(\cfrac{\pi}{2} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}.\) Выпишем несколько подряд идущих точек \(D\) и вычеркнем те из них, в которых знаменатель обращается в нуль: $$\ldots, \, \cancel{-\frac{\pi}{2} - 4 \pi}, \, -\frac{\pi}{2} - 2 \pi, \, \cancel{- \frac{\pi}{2}}, \, -\frac{\pi}{2} + 2 \pi, \, \cancel{-\frac{\pi}{2} + 4 \pi}, \, -\frac{\pi}{2} + 6 \pi, \, \ldots$$ Видим, что невычеркнутые точки — это \(-\cfrac{\pi}{2} + (2 + 4m) \pi, \, m \in \mathbb{Z}\) или \(\cfrac{3 \pi}{2} + 4 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}\)

б) Отбор корней. I $$\pi \leqslant \pi n \leqslant 4 \pi$$ Значит, \(n = 1, \, 2, \, 3, \, 4 \, \Rightarrow\) \(x = \pi, \, 2 \pi, \, 3 \pi, \, 4 \pi.\)

II $$\pi \leqslant \frac{\pi}{2} +2 \pi k \leqslant 4 \pi$$ $$2 \leqslant 1 + 4 k \leqslant 8$$ $$1 \leqslant 4 k \leqslant 7$$ Значит, \(k = 1 \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{5\pi}{2}.\)

III $$\pi \leqslant \frac{3 \pi}{2} + 4 \pi m \leqslant 4 \pi$$ $$2 \leqslant 3 + 8m \leqslant 8$$ $$-1 \leqslant 8m \leqslant 5$$ Значит, \(m = 0 \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{3\pi}{2}.\)

Ответ: а) \(\pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{\pi}{2} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{3\pi}{2} + 4 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(\pi; \, \cfrac{3\pi}{2}; \, 2 \pi ; \, \cfrac{5 \pi}{2}; \, 3 \pi ; \, \, 4 \pi .\)