Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. ЕГКР. 16.12.2025

а) $$2 \sin x (1 + \cos x ) - \cos x - \cos^2 x = \sin^2 x $$ $$2 \sin x \left( 1 + \cos x \right) = 1 + \cos x$$ $$\left( 1 + \cos x \right) \left( 2 \sin x - 1 \right) = 0$$ Отсюда либо \(\cos x = - 1 \, \Rightarrow \) \( x = \pi + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) либо \(\sin x = \cfrac{1}{2} \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z},\) \(x = \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I $$\frac{17 \pi}{2} \leqslant \pi + 2 \pi n \leqslant \frac{19 \pi}{2}$$ $$17 \leqslant 2 + 4 n \leqslant 19$$ $$15 \leqslant 4n \leqslant 17$$ Значит \(n = 4 \, \Rightarrow \, x = \pi + 8 \pi = 9 \pi.\)

II $$\frac{17 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{6} + 2 \pi k \leqslant \frac{19 \pi}{2}$$ $$51 \leqslant 1 + 12 k \leqslant 57$$ $$50 \leqslant 12k \leqslant 56$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.

III $$\frac{17 \pi}{2} \leqslant \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m \leqslant \frac{19 \pi}{2}$$ $$51 \leqslant 5 + 12 m \leqslant 57$$ $$46 \leqslant 12 m \leqslant 52$$ Значит \(m = 4 \, \Rightarrow \, x = \cfrac{5 \pi}{6} + 8 \pi = \cfrac{53 \pi}{6}.\)

Ответ: а) \(\pi + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{\pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{53 \pi}{6}; \, 9 \pi.\)