Задание 13. Математика. ЕГЭ. Демо-2025

а) $$2 \sin^3 x = \sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x \, \Rightarrow$$ $$\sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x - 2 \sin^3 x = 0 \, \Rightarrow \, \sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x (1 - \sin^2 x) = 0 \, \Rightarrow$$ $$\cos^2 x ( \sqrt{2} + 2 \sin x) = 0$$ Первый случай. \(\cos^2 x = 0 \, \Rightarrow\) \(\cos x = 0 \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\)

Второй случай. \(\sqrt{2} + 2 \sin x = 0, \Rightarrow \) \(\sin x = - \cfrac{\sqrt{2}}{2} \, \Rightarrow\) \(x = - \cfrac{\pi}{4} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}\) или \(x = - \cfrac{3\pi}{4} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\)

б) Отбор корней. I $$-4 \pi \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi n \leqslant -\frac{5 \pi}{2} \, \Rightarrow$$ $$-8 \leqslant 1 + 2n \leqslant -5 \, \Rightarrow \, -9 \leqslant 2n \leqslant -6$$ $$n = -4, \,\, x = \frac{\pi}{2} - 4 \pi = - \frac{7 \pi}{2}$$ $$n = -3, \,\, x = \frac{\pi}{2} - 3 \pi = - \frac{5 \pi}{2}$$ II $$-4 \pi \leqslant - \frac{\pi}{4} + 2 \pi m \leqslant -\frac{5 \pi}{2} \, \Rightarrow$$ $$-16 \leqslant -1 + 8m \leqslant -10 \, \Rightarrow \, -15 \leqslant 8m \leqslant -9$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.

III $$-4 \pi \leqslant - \frac{3\pi}{4} + 2 \pi k \leqslant -\frac{5 \pi}{2} \, \Rightarrow$$ $$-16 \leqslant -3 + 8k \leqslant -10 \, \Rightarrow \, -13 \leqslant 8k \leqslant -7$$ $$k = -1, \,\, x = -\frac{3\pi}{4} - 2 \pi = - \frac{11 \pi}{4}$$

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(- \cfrac{\pi}{4} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) \(- \cfrac{3\pi}{4} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) б) \(- \cfrac{7 \pi}{2};\) \(- \cfrac{11 \pi}{4};\) \( -\cfrac{5 \pi}{2}.\)