Задание 13. Математика. ЕГЭ. Статград. 02.10.2024-1

а)

$$2 \sin^3 x - \sqrt{3} \cos^2 x = 2 \sin x$$ $$2 \sin^3 x - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sin^2 x = 2 \sin x \, \Rightarrow \sin^2 x (2 \sin x + \sqrt{3} ) - (2 \sin x + \sqrt{3}) = 0$$ $$(2 \sin x + \sqrt{3}) (\sin^2 x - 1) = 0$$ $$\sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow$$ $$x = - \frac{\pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}, \,\, x = - \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}$$ $$\cos^2 x = 0 \, \Rightarrow \, \cos x = 0, \, \Rightarrow \, x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$$

б) Отбор корней

$$-4 \pi \leqslant - \frac{\pi}{3} + 2 \pi k \leqslant - \frac{5 \pi}{2}$$ $$-24 \leqslant -2 + 12 k \leqslant - 15 \, \Rightarrow \, - \frac{22}{12} \leqslant k \leqslant - \frac{13}{12}$$ Нет решения. Далее $$-4 \pi \leqslant - \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi m \leqslant - \frac{5 \pi}{2}$$ $$-24 \leqslant -4 + 12 m \leqslant - 15 \, \Rightarrow \, - \frac{20}{12} \leqslant m \leqslant - \frac{11}{12}$$ Отсюда \(m = -1, \, x = - \cfrac{8 \pi}{3}.\) $$-4 \pi \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi n \leqslant - \frac{5 \pi}{2}$$ $$-8 \leqslant 1 + 2n \leqslant -5 \, \Rightarrow \, - \frac{9}{2} \leqslant n \leqslant -3.$$ Т.е. \(n = -4, \, x = - \cfrac{7 \pi}{2}\) и \(n = -3, \, x = - \cfrac{5 \pi}{2}.\)

Ответ: а) \(- \cfrac{\pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \, - \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}; \, \cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\) б) \( - \cfrac{7 \pi}{2}; \, - \cfrac{8 \pi}{3}; \, - \cfrac{5 \pi}{2}. \)