Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 13. Математика. ЕГЭ. Статград. 04.02.2025-1
- Просмотры: 286
- Изменено: 18 сентября 2026
- Методичка по теме:Тригонометрические формулы
а) Решите уравнение $$8 \sin^2 x - 6 \cos x - 3 = 0.$$
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ - \cfrac{7 \pi}{2} ; - 2 \pi \right]\)
Решение:
а) $$8 \sin^2 x - 6 \cos x - 3 = 0 \, \Rightarrow \, 8 (1 - \cos^2 x) - 6 \cos x - 3 = 0$$ $$8 \cos^2 x + 6 \cos x - 5 = 0$$ Это — квадратное уравнение относительно \(\cos x.\) Решаем стандартным образом: \( D = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 196,\) \(\sqrt{D} = 14.\)
\(\cos x = \cfrac{-6 -14}{16} = - \cfrac{5}{4} < -1\) Это уравнение не имеет решений в действительных числах.
\(\cos x = \cfrac{-6 +14}{16} = \cfrac{1}{2},\) \( x = \pm \cfrac{\pi}{3} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\)
б) Отбор корней.Первый случай. $$-\frac{7 \pi}{2} \leqslant - \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \leqslant -2 \pi$$ $$-21 \leqslant -2 + 12 n \leqslant -12 \, \Rightarrow \, -19 \leqslant 12 n \leqslant -9$$ $$n = -1, \, x = - \frac{\pi}{3} - 2 \pi = - \frac{7 \pi}{3}$$ Второй случай. $$-\frac{7 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \leqslant -2 \pi$$ $$-21 \leqslant 2 + 12 n \leqslant -12 \, \Rightarrow \, -23 \leqslant 12 n \leqslant -13$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.
Ответ: а) \(\pm \cfrac{\pi}{3} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) б) \(- \cfrac{7 \pi}{3}.\)
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования