Задание 13. Математика. ЕГЭ. Статград. 11.02.2025-1

а) $$49^{- \sqrt{1 - \sin^2 x}} - 49^{\cos x} = - \frac{48}{7}$$ $$49^{- |\cos x|} - 49^{\cos x} = - \frac{48}{7}$$ Если \(\cos x \leqslant 0,\) то получаем уравнение \(49^{\cos x} - 49^{\cos x} = - \cfrac{48}{7}.\) Это уравнение не имеет решений.

При \(\cos x > 0\) получаем следующее уравнение \(49^{-\cos x} - 49^{\cos x} = - \cfrac{48}{7}.\) Сделаем замену \( t = 49^{\cos x}.\) Тогда уравнение принимает вид $$\frac{1}{t} - t = - \frac{48}{7}$$ Очевидно, что \(t > 0.\) Поэтому, умножаем это уравнение на \(t:\) $$1 - t^2 = - \frac{48}{7} t \, \Rightarrow \, 7t^2 - 48 t - 7 = 0.$$ $$D = (-48)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-7) = 2500, \,\, t_1 = \frac{48 - 50}{14} = - \frac{1}{7}, \, t_2 = \frac{48 + 50}{14} = 7$$ Обратная замена: уравнение \(49^{\cos x} = - \cfrac{1}{7}\) не имеет решений в действительных числах. Уравнение \(49^{\cos x} = 7\) приводит к уравнению \(\cos x = \cfrac{1}{2}.\) Его решение \(x = \pm \cfrac{\pi}{3} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. Первый случай $$\frac{5 \pi}{2} \leqslant - \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \leqslant 4 \pi$$ $$15 \leqslant -2 + 12 n \leqslant 24 \, \Rightarrow \, 17 \leqslant 12 n \leqslant 26$$ $$n = 2, \, x = - \frac{\pi}{3} + 4 \pi = \frac{11 \pi}{3}$$ Второй случай $$\frac{5 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \leqslant 4 \pi$$ $$15 \leqslant 2 + 12 n \leqslant 24 \, \Rightarrow \, 13 \leqslant 12 n \leqslant 22$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.

Ответ: а) \(\pm \cfrac{\pi}{3} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{11 \pi}{3}.\)