Задание 13. Математика. ЕГЭ. Статград. 14.05.2025

а) $$2 \sin^3 x - \sqrt{2} \sin 2x + \sin x = - \sqrt{2}$$ $$2 \sin^3 x - \sqrt{2} (1 - 2 \sin^2 x) + \sin x = - \sqrt{2}$$ $$\sin x \left( 2 \sin^2 x + 2 \sqrt{2} \sin x + 1 \right) = 0$$ $$\sin x \left( \sqrt{2} \sin x + 1 \right)^2 = 0$$ Отсюда \(\sin x = 0 \Rightarrow\) \(x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}\) или \(\sin x = - \cfrac{1}{2}, \, \Rightarrow\) \(x = - \cfrac{\pi}{4} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z},\) \(x = - \cfrac{3 \pi}{4} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z},\)

б)Отбор корней I $$\frac{7\pi}{2} \leqslant \pi n \leqslant 5 \pi$$ $$7 \pi \leqslant 2n \leqslant 10 \pi$$ $$n = 4, \, 5, \,\, x = 4 \pi, \, 5 \pi.$$ II $$\frac{7\pi}{2} \leqslant - \frac{\pi}{4} + 2 \pi k \leqslant 5 \pi$$ $$14 \leqslant -1 + 8k \leqslant 20$$ $$15 \leqslant 8k \leqslant 21$$ $$k = 2, \,\, x = \frac{15 \pi}{4}$$ III $$\frac{7\pi}{2} \leqslant - \frac{3\pi}{4} + 2 \pi m \leqslant 5 \pi$$ $$14 \leqslant -3 + 8m \leqslant 20$$ $$17 \leqslant 8m \leqslant 23$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.

Ответ: а) \(\pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(-\cfrac{\pi}{4} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(-\cfrac{3\pi}{4} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{15 \pi}{4}; \, 4 \pi; \, 5 \pi.\)