Задание 13. Математика. ЕГЭ. Статград. 18.03.2025-1

а)

$$2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) - 2 \sqrt{3} \sin^2 x = \sin x - 2 \sqrt{3}$$ $$2 \sin x \cos \frac{\pi}{3} + 2 \cos x \sin \frac{\pi}{3} - 2 \sqrt{3} \sin^2 x = \sin x - 2 \sqrt{3}$$ $$\sin x + \sqrt{3} \cos x - 2 \sqrt{3} \sin^2 x = \sin x -2 \sqrt{3}$$ $$\cos x - 2 \left( 1 - \cos^2 x \right) = -2 \, \Rightarrow \, \cos x \cdot (1 + 2 \cos x) = 0.$$

\( \cos x = 0, \, \Rightarrow \, x = \cfrac{\pi}{2} + \pi n , \, n \in \mathbb{Z}.\)

\( \cos x = - \cfrac{1}{2} \, \Rightarrow \, x = \pm \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\)

б) Отбор корней

$$-3 \pi \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi n \leqslant - \frac{3 \pi}{2}$$ $$-6 \leqslant 1 + 2 n \leqslant -3 , \, \Rightarrow \, - \frac{7}{2} \leqslant n \leqslant -2$$ Т.е. \(n = -3, -2.\) При \(n = -3, \,\, x = - \cfrac{5 \pi}{2}.\) При \(n = -2, \,\, x = - \cfrac{3 \pi}{2}.\)

$$-3 \pi \leqslant \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k \leqslant - \frac{3 \pi}{2}$$ $$-18 \leqslant 4 + 12k \leqslant -9 \, \Rightarrow \, - \frac{22}{12} \leqslant k \leqslant - \frac{13}{12}$$ Здесь нет решения. Наконец $$-3 \pi \leqslant -\frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k \leqslant - \frac{3 \pi}{2}$$ $$-18 \leqslant -4 + 12k \leqslant -9 \, \Rightarrow \, - \frac{14}{12} \leqslant k \leqslant - \frac{5}{12} \, \Rightarrow \, k = -1$$ Значит при \(k = -1, \, x = - \cfrac{8 \pi}{3}\)

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}; \,\, \pm \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}.\) б) \( -\cfrac{5 \pi}{2}, \, -\cfrac{8 \pi}{3}, \, -\cfrac{3 \pi}{2} .\)