Задание 13. Математика. ЕГЭ. Статград. 19.12.2024-1

а) $$3 \cos 2x - 7 \sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) - 2 = 0 \, \Rightarrow$$ $$3 (2 \cos^2 x - 1) - 7 \cos x - 2 = 0 \, \Rightarrow \, 6 \cos^2 x - 7 \cos x - 5 = 0$$ Получили квадратное уравнение относительно \(\cos x.\) Тогда \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169,\) \(\sqrt{D} = 13.\) Получаем два уравнения:

\(\cos x = \cfrac{7 + 13}{2} = \cfrac{5}{3} > 1.\) Это уравнение не имеет решений в действительных числах.

\(\cos x = \cfrac{7 - 13}{2} = - \cfrac{1}{2} \, \Rightarrow\) \(x = \pm \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. $$\frac{7 \pi}{2} \leqslant - \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n \leqslant 5 \pi$$ $$21 \leqslant -4 + 12 n \leqslant 30 \, \Rightarrow \, 25 \leqslant 12 n \leqslant 34.$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах. $$\frac{7 \pi}{2} \leqslant \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n \leqslant 5 \pi$$ $$21 \leqslant 4 + 12 n \leqslant 30 \, \Rightarrow \, 17 \leqslant 12 n \leqslant 26$$ $$n = 2, \, x = \frac{2 \pi}{3} + 4 \pi = \frac{14 \pi}{3}$$

Ответ: а) \(\pm \cfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{14 \pi}{3}.\)