Задание 13. Математика. ЕГЭ. Статград. 23.04.2025-1

а) $$4 \sin x \cos x - 2 \sqrt{5} \sin x = - 2 \sqrt{3} \cos x + \sqrt{15}$$ $$4 \frac{\sin x}{\sqrt{3}} \frac{\cos x}{\sqrt{5}} - \frac{2 \sin x}{\sqrt{3}} = - \frac{2 \cos x}{\sqrt{5}} + 1$$ $$2 \frac{\sin x}{\sqrt{3}} \frac{\cos x}{\sqrt{5}} - \frac{\sin x}{\sqrt{3}} + \frac{\cos x}{\sqrt{5}} - \frac{1}{2} = 0$$ $$2 \frac{\sin x}{\sqrt{3}} \left( \frac{\cos x}{\sqrt{5}} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{\cos x}{\sqrt{5}} - \frac{1}{2} \right) = 0$$ $$\left( \frac{\cos x}{\sqrt{5}} - \frac{1}{2} \right) \left( \frac{2 \sin x}{\sqrt{3}} + 1 \right) = 0$$ Первая скобка дает $$\frac{\cos x}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \, \Rightarrow \, \cos x = \frac{\sqrt{5}}{2} > 1$$ Это уравнение не имеет решения в действительных числах.

Из второй скобки получаем $$\sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Отсюда \(x = - \cfrac{\pi}{3} + 2 \pi n , \, n \in \mathbb{Z}\) или \(x = - \cfrac{2\pi}{3} + 2 \pi k , \, k \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней $$\frac{7 \pi}{2} \leqslant - \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \leqslant 5 \pi$$ $$21 \leqslant -2 + 12 n \leqslant 30 \, \Rightarrow \, 23 \leqslant 12 n \leqslant 32$$ $$\frac{23}{12} \leqslant n \leqslant \frac{32}{12} \, \Rightarrow \, n = 2, \, x = \frac{11 \pi}{3}$$ $$\frac{7 \pi}{2} \leqslant - \frac{2\pi}{3} + 2 \pi k \leqslant 5 \pi$$ $$21 \leqslant -4 + 12 k \leqslant 30 \, \Rightarrow \, 25 \leqslant 12 k \leqslant 34$$ $$\frac{25}{12} \leqslant k \leqslant \frac{34}{12}$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.

Ответ: а) \(-\cfrac{\pi}{3} + 2 \pi n , \, n \in \mathbb{Z};\) \(-\cfrac{2\pi}{3} + 2 \pi n , \, n \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{11 \pi}{3} .\)