Задание 14. Математика. ЕГЭ 2027. Ященко-2

а) Уравнение из условия задания эквивалентно системе $$ \left[ \begin{aligned} \cos^2 x - \sin^2 x = 0 & \\ \sin 2x + \sqrt{3} \sin x = 0 & \end{aligned} \right. $$ Первое уравнение из этой системы преобразуется в уравнение \(\cos 2 x = 0.\) Отсюда \(2x = \cfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.\) Получаем, что \(x = \cfrac{\pi}{4} + \cfrac{\pi n}{2}, \, n \in \mathbb{Z}.\)

Теперь расмотрим второе уравнение системы: $$\sin 2x + \sqrt{3} \sin x = 0$$ $$\sin x \left( 2 \cos x + \sqrt{3} \right) = 0$$ $$ \left[ \begin{aligned} \sin x = 0 & \\ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} & \end{aligned} \right. $$ Решением этой системы будет \(x = \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(x = \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi q, \, q \in \mathbb{Z};\) \(x = - \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi p, \, p \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I $$-\pi \leqslant \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \leqslant \frac{\pi}{2}$$ $$-4 \leqslant 1 + 2 n \leqslant 2$$ $$-5 \leqslant 2 n \leqslant 1$$ Отсюда \(n = -2; \, -1; \, 0\) \(x_1 = \cfrac{\pi}{4} - \pi = -\cfrac{3 \pi}{4};\) \(x_2 = \cfrac{\pi}{4} - \cfrac{ \pi}{2} = -\cfrac{\pi}{4};\) \(x_3 = \cfrac{\pi}{4} .\)

II $$-\pi \leqslant \pi k \leqslant \frac{\pi}{2}$$ $$-2 \leqslant 2 k \leqslant 1$$ Отсюда \(k =-1; \, 0\) \(x_1 = -\pi ;\)\(x_2 = 0 .\)

III $$-\pi \leqslant \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi q \leqslant \frac{\pi}{2}$$ $$-6 \leqslant 5 + 12 q \leqslant 3$$ $$-11 \leqslant 12 q \leqslant -2$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах

IV $$-\pi \leqslant -\frac{5 \pi}{6} + 2 \pi p \leqslant \frac{\pi}{2}$$ $$-6 \leqslant -5 + 12 p \leqslant 3$$ $$-1 \leqslant 12 p \leqslant 8$$ Отсюда \(p = 0,\) \(x = - \cfrac{5 \pi}{6} .\)

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{4} + \cfrac{\pi n}{2}, \, n \in \mathbb{Z}.\) \(\pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi q, \, q \in \mathbb{Z};\) \(- \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi p, \, p \in \mathbb{Z};\) б) \(- \cfrac{5 \pi}{6}; \, -\cfrac{3 \pi}{4}; \, -\pi ; \, -\cfrac{\pi}{4}; \, 0; \, \cfrac{\pi}{4} .\)