Задание 14. Математика. ЕГЭ 2027. Ященко. Вариант 1

а) $$\sqrt{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} \\[1em] \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\[1em] \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Значит, \(x + \cfrac{\pi}{4} = \pm \cfrac{3 \pi}{4} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\) Окончательно, \( x = \cfrac{\pi}{2} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\) или \(x = - \pi + 2 \pi n , \, n \in \mathbb{Z} = \pi + 2 \pi n , \, n \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I $$-6 \pi \leqslant \frac{\pi}{2} + 2 \pi k \leqslant - \frac{9 \pi}{2} \\[1em] -12 \leqslant 1 + 4k \leqslant - 9 \\[1em] -12 \leqslant 4 k \leqslant -10$$ Значит, \(k = -3,\) \(x = \cfrac{\pi}{2} - 6 \pi = - \cfrac{11 \pi}{2}.\)

II $$-6 \pi \leqslant \pi + 2 \pi n \leqslant - \frac{9 \pi}{2} \\[1em] -12 \leqslant 2 + 4n \leqslant - 9 \\[1em] -14 \leqslant 4 n \leqslant -11$$ Значит, \(n = -3,\) \(x = \pi - 6 \pi = -5 \pi .\)

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{2} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(\pi+ 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) б) \(- \cfrac{11 \pi}{2}; \, - 5 \pi .\)