Задание 14. Математика. ЕГЭ 2027. Ященко. Вариант 10

а) Так как $$\log_{0{,}04} \left( 2^{\sqrt{x}} - 1 \right) = \log_{\frac{1}{25}} \left( 2^{\sqrt{x}} - 1 \right) = - \frac{1}{2} \log_5 \left( 2^{\sqrt{x}} - 1 \right),$$ то уравнение из условия задания переписывается следующим образом: $$\frac{1}{4} \log_5^2 \left( 2^{\sqrt{x}} - 1 \right) - \log_5 \left( 2^{\sqrt{x}} - 1 \right) + \frac{3}{4} = 0.$$ Вводя замену \(t = \log_5 \left( 2^{\sqrt{x}} - 1 \right)\) получаем следующее уравнение $$t^2 - 4t + 3 = 0.$$ По теореме Виета легко найти его корни: \(t_1 = 3; \, t_2 = 1.\)

Обратная замена $$ \begin{array}{l l | l} \log_5 \left( 2^{\sqrt{x}} - 1 \right) = 3 & \quad & \quad \log_5 \left( 2^{\sqrt{x}} - 1 \right) = 1 \\[1em] 2^{\sqrt{x}} - 1 = 125 & \quad & \quad 2^{\sqrt{x}} - 1 = 5 \\[1em] 2^{\sqrt{x}} = 126 & \quad & \quad 2^{\sqrt{x}} = 6 \\[1em] \sqrt{x} = \log_2 126 & \quad & \quad \sqrt{x} = \log_2 6 \\[1em] x = \log_2^2 126 & \quad & \quad x = \log_2^2 6 \end{array} $$

б) Отбор корней. Рассмотрим первый корень \(\log_2^2 126.\) С одной стороны $$\log_2^2 126 < \log_2^2 128 = 7^2 = 49 < 50.$$ С другой стороны $$\log_2^2 126 > \log_2^2 64 = 6^2 = 36 > 5.$$ Значит \(\log_2^2 126 \in \left[ 5; \, 50 \right].\)

Рассмотрим второй корень \(\log_2^2 6.\) Получаем, что $$\log_2^2 6 < \log_2^2 126 < 50.$$ Сравним теперь этот корень с \(5.\) $$ \log_2^2 6 \lor 5 \\[1em] \log_2 6 \lor \sqrt{5} $$ Учитывая, что \(2{,}3 > \sqrt{5},\) получаем $$\log_2 (2 \cdot 3) \lor \cfrac{23}{10} \\[1em] \log_2 3 \lor \cfrac{13}{10} \\[1em] 3 \lor 2^{\frac{13}{10}} \\[1em] 3^{10} \lor 2^{13} \\[1em] 243 \cdot 243 \lor 8196 \\[1em] 243 \cdot 243 > 100 \cdot 100 > 8196$$ Значит, \(\log_2 6 > 2{,}3 > \sqrt{5}\) и, поэтому, \(\log_2^2 6 > 5.\) Приходим к выводу, что \(\log_2^2 6 \in \left[ 5; \, 50 \right].\)

Ответ: а) \(\log_2^2 6; \, \log_2^2 126;\) б) \(\log_2^2 6; \, \log_2^2 126.\)