Задание 14. Математика. ЕГЭ 2027. Ященко. Вариант 2

а)$$ \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \\[1em] \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \sqrt{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\[1em] \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\[1em] \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Отсюда, либо \(x + \cfrac{\pi}{4} = \cfrac{\pi}{4} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z},\) т.е. \(x = 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) либо \(x + \cfrac{\pi}{4} = \cfrac{3 \pi}{4} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z},\) т.е. \(x = \cfrac{\pi}{2} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I $$- \frac{11 \pi}{2} \leqslant 2 \pi n \leqslant - 4 \pi \\[1em] -11 \leqslant 4n \leqslant -8$$ Значит \(n = -2;\) \(x = - 4 \pi.\)

II $$- \frac{11 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{2} + 2 \pi k \leqslant - 4 \pi \\[1em] -11 \leqslant 1 + 4k \leqslant -8 \\[1em] -12 \leqslant 4k \leqslant -9$$ Отсюда \(k = -3;\) \( x = \cfrac{\pi}{2} - 6\pi = - \cfrac{11 \pi}{2} .\)

Ответ: а) \(2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}; \, \cfrac{\pi}{2} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) б) \(- \cfrac{11 \pi}{2}; \, - 4 \pi.\)