Задание 14. Математика. ЕГЭ 2027. Ященко. Вариант 3

а) Умножим всё уравнение на \(4^{-x^3} = 2^{-2x^3} > 0.\) Получаем $$4^{-x^2 + 3x - 0{,}5} + 4^{x^2 - 3x + 2{,}5} - 10 = 0$$ Вводим замену \(t = 4^{-x^2 + 3x}.\) Заметим, что \(t(x) > 0 \, \forall x \in \mathbb{R}.\) Уравнение преобразуется следующим образом $$t \cdot 4^{-0{,}5} + \frac{1}{t} \cdot 4^{2{,}5} - 10 = 0 \\[1em] \frac{t}{2} + \frac{32}{t} - 10 = 0.$$ Умножим всё уравнение на \(2t.\) Мы это можем сделать без потери корней и без появления посторонних корней, потому что \(t > 0.\) $$t^2 - 20t + 64 = 0.$$ По теореме Виета сразу находим, что \(t_1 = 16,\, t_2 = 4.\)

Обратная замена. $$4^{-x^2 +3x} = 4^2 = 16 \\[1em] x^2 - 3x +2 = 0 $$ По теореме Виета \(x_1 = 1; \, x_2 = 2.\) $$4^{-x^2 +3x} = 4 \\[1em] x^2 - 3x + 1 = 0 \\[1em] \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4} + 1 = 0 \\[1em] \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{5}{4}$$ Отсюда $$x_3 = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}; \,\, x_4 = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}.$$

б) Отбор корней. Очевидно, что \(1 \in \left[ 0{,}4 ; \, 1{,}4 \right]\) и \(2 \notin \left[ 0{,}4 ; \, 1{,}4 \right].\) Далее $$\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} = 1{,}5 + \frac{\sqrt{5}}{2} > 1{,}4.$$ Значит, $$\frac{3 + \sqrt{5}}{2} \notin \left[ 0{,}4 ; \, 1{,}4 \right].$$ Остался один корень \(x_3.\) Сравним его с \(0{,}4.\) $$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \lor \frac{4}{10} \\[1em] 5 \left( 3 - \sqrt{5} \right) \lor 4 \\[1em] -5 \sqrt{5} \lor -11 \\[1em] 11 \lor 5 \sqrt{5} \\[1em] 121 \lor 25 \cdot 5 \\[1em] 121 < 125.$$ Значит $$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} < \frac{4}{10} \\[1em] \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \notin \left[ 0{,}4 ; \, 1{,}4 \right]$$

Ответ: а) \(\cfrac{3 - \sqrt{5}}{2}; \, 1; \, 2; \, \cfrac{3 + \sqrt{5}}{2};\) б) \(1.\)