Задание 14. Математика. ЕГЭ 2027. Ященко. Вариант 4

а) Умножим всё уравнение на \(16^{-x^4} = 2^{-4x^4} > 0.\) Получаем $$16^{x^2 + 3x + 1{,}5} + 16^{-x^2 - 3x - 0{,}5} + 6 = 0$$ Вводим замену \(t = 16^{x^2 + 3x}.\) Заметим, что \(t(x) > 0 \, \forall x \in \mathbb{R}.\) Уравнение преобразуется следующим образом $$t \cdot 16^{1{,}5} - \frac{1}{t} \cdot 16^{-0{,}5} + 6 = 0 \\[1em] 64 t - \frac{1}{4t} + 6 = 0.$$ Умножим всё уравнение на \(4t.\) Мы это можем сделать без потери корней и без появления посторонних корней, потому что \(t > 0.\) $$256t^2 + 24t - 1 = 0. \\[1em] D = 24^2 + 4 \cdot 256 = 576 + 1024 = 1600, \quad \sqrt{D} = 40 \\[1em] t_1 = \frac{-24 + 40}{512} = \frac{1}{32}, \quad t_2 = \frac{-24-40}{512} = - \frac{1}{16} < 0$$ Второй корень \(t_2\) не подходит из-за условия \(t > 0.\)

Обратная замена. $$16^{x^2 +3x} = 32^{-1} \\[1em] 2^{4x^2 + 12x} = 2^{-5} \\[1em] 4x^2 + 12x + 5 = 0 \\[1em] (2x + 3)^2 - 9 + 5 = 0 \\[1em] (2x+3)^2 = 4 \\[1em] 2x = -3 \pm 2 $$ Значит, \(x_1 = - 2{,}5;\) \(x_2 = - 0{,}5.\)

б) Отбор корней. Очевидно, что \(-2{,}5 \in \left[ -4{,}4 ; \, 0{,}4 \right]\) и \(-0{,}5 \in \left[ -4{,}4 ; \, 0{,}4 \right] .\)

Ответ: а) \(-2{,}5;\) \(-0{,}5;\) б) \(-2{,}5;\) \(-0{,}5.\)