Задание 14. Математика. ЕГЭ 2027. Ященко. Вариант 5

а) Заменяя \(\sin 2x\) и \(\cos 2x\) тангенсом половинного угла, получаем $$24 \cdot \frac{2 \, \mathrm{tg} \, x}{1 + \mathrm{tg}^2 \, x} - 7 \cdot \frac{1 - \mathrm{tg}^2 \, x}{1 + \mathrm{tg}^2 \, x} = 15 \\[1em] 48 \mathrm{tg} \, x - 7 + 7 \mathrm{tg}^2 \, x = 15 + 15 \mathrm{tg}^2 \, x \\[1em] 4 \mathrm{tg}^2 \, x - 24 \mathrm{tg} \, x + 11 = 0$$ Замена \(t = \mathrm{tg} \, x:\) $$4t^2 - 24t + 11 = 0 \\[1em] D = 24^2 - 4 \cdot 4 \cdot 11 = 576 - 176 = 400 \\[1em] t = \frac{24 \pm 20}{8} \\[1em] t_1 = \frac{44}{8} = \frac{11}{2}, \quad t_2 = \frac{4}{} = \frac{1}{2}. $$ Обратная замена: $$\mathrm{tg} \, x = \frac{11}{2}, \,\, \Rightarrow \,\, x = \mathrm{arctg} \, \frac{11}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}; \\[1em] \mathrm{tg} \, x = \frac{1}{2}, \,\, \Rightarrow \,\, x = \mathrm{arctg} \, \frac{1}{2} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \\[1em]$$

б) Отбор корней. I Заметим, что $$\frac{\pi}{4} < \mathrm{arctg} \, \frac{11}{2} < \frac{\pi}{2}$$ Поэтому $$\frac{\pi}{4} + \pi n \leqslant \mathrm{arctg} \, \frac{11}{2} + \pi n \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi n$$ При \(n = -3\) получаем, что $$-3 \pi < \frac{\pi}{4} - 3 \pi < \frac{\pi}{2} - 3 \pi < - 2 \pi \\[1em] \mathrm{arctg} \, \frac{11}{2} - 3 \pi \in \left[ -3 \pi ; \, -2 \pi \right].$$ Далее, $$\frac{\pi}{2} - 4 \pi < -3 \pi \\[1em] \frac{\pi}{4} - \pi > -2 \pi$$ Значит, остальные \(n\) не подходят.

II Заметим, что $$0 < \mathrm{arctg} \, \frac{1}{2} < \frac{\pi}{4}$$ Поэтому $$\pi k < \mathrm{arctg} \, \frac{1}{2} + \pi k < \frac{\pi}{4} + \pi k$$ При \(k = -3\) получаем, что $$-3 \pi < \frac{\pi}{4} - 3 \pi < - 2 \pi \\[1em] \mathrm{arctg} \, \frac{1}{2} - 3 \pi \in \left[ -3 \pi ; \, -2 \pi \right].$$ Далее, $$\frac{\pi}{4} - 4 \pi < -3 \pi$$ Значит, остальные \(k\) не подходят.

Ответ: а) \(\mathrm{arctg} \, \cfrac{11}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \( \mathrm{arctg} \, \cfrac{1}{2} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \) б) \(\mathrm{arctg} \, \cfrac{11}{2} - 3 \pi ;\) \( \mathrm{arctg} \, \cfrac{1}{2} - 3 \pi . \)