Задание 14. Математика. ЕГЭ 2027. Ященко. Вариант 6

а) Заменяя \(\sin 2x\) и \(\cos 2x\) тангенсом половинного угла, получаем $$15 \cdot \frac{1 - \mathrm{tg}^2 \, x}{1 + \mathrm{tg}^2 \, x} + 20 \cdot \frac{2 \, \mathrm{tg} \, x}{1 + \mathrm{tg}^2 \, x} = 7 \\[1em] 15 - 15 \mathrm{tg}^2 \, x + 40 \mathrm{tg} \, x = 7 + 7 \mathrm{tg}^2 \, x \\[1em] 11 \mathrm{tg}^2 \, x - 20 \mathrm{tg} \, x - 4 = 0$$ Замена \(t = \mathrm{tg} \, x:\) $$11 t^2 - 20t - 4 = 0 \\[1em] D = 20^2 + 4 \cdot 4 \cdot 11 = 400 + 176 = 576 \\[1em] t = \frac{20 \pm 24}{22} \\[1em] t_1 = 2, \quad t_2 = \frac{4}{} = - \frac{2}{11}. $$ Обратная замена: $$\mathrm{tg} \, x = 2, \,\, \Rightarrow \,\, x = \mathrm{arctg} \, 2 + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}; \\[1em] \mathrm{tg} \, x = - \frac{2}{11}, \,\, \Rightarrow \,\, x = - \mathrm{arctg} \, \frac{2}{11} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \\[1em]$$

б) Отбор корней. I Заметим, что $$\frac{\pi}{4} < \mathrm{arctg} \, 2 < \frac{\pi}{2}$$ Поэтому $$\frac{\pi}{4} + \pi n \leqslant \mathrm{arctg} \, 2 + \pi n \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi n$$ При \(n = 2\) получаем, что $$2 \pi < \frac{\pi}{4} + 2 \pi < \frac{\pi}{2} + 2 \pi < 3 \pi \\[1em] \mathrm{arctg} \, 2 + 2 \pi \in \left[ 2 \pi ; \, 3 \pi \right].$$ Далее, $$\frac{\pi}{2} + \pi < 2 \pi \\[1em] \frac{\pi}{4} + 3 \pi > 3 \pi$$ Значит, остальные \(n\) не подходят.

II $$- \frac{\pi}{4} < -\mathrm{arctg} \, \frac{2}{11} < 0$$ Поэтому $$-\frac{\pi}{4} + \pi k < -\mathrm{arctg} \, \frac{2}{11} + \pi k < \pi k$$ При \(k = 3\) получаем, что $$2 \pi < -\frac{\pi}{4} + 3 \pi < 3 \pi \\[1em] -\mathrm{arctg} \, \frac{2}{11} + 3 \pi \in \left[ 2 \pi ; \, 3 \pi \right].$$ Далее, $$- \frac{\pi}{4} + 2 \pi < 2 \pi \\[1em] - \frac{\pi}{4} + 4 \pi > 3 \pi$$ Значит, остальные \(k\) не подходят.

Ответ: а) \(\mathrm{arctg} \, 2 + \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \( -\mathrm{arctg} \, \cfrac{2}{11} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \) б) \(\mathrm{arctg} \, 2 + 2 \pi ;\) \( - \mathrm{arctg} \, \cfrac{2}{11} + 3 \pi . \)