Задание 14. Математика. ЕГЭ 2027. Ященко. Вариант 8

а) $$4^{\cos^2 2x} (16 - 1) = 9^{\cos^2 x} (9 + 1) \\[1em] \left( \frac{4}{3} \right)^{\cos^2 2x} = \frac{2}{3} \\[1em] \cos^2 2x = \frac{1}{2} \\[2em] \begin{array}{l l | l} \cos 2 x = \cfrac{1}{\sqrt{2}} & \quad & \quad \cos 2 x = -\cfrac{1}{\sqrt{2}} \\[1em] \left[ \begin{array}{l} 2x = \cfrac{\pi}{4} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z} \\[1em] 2x = -\cfrac{\pi}{4} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z} \end{array} \right. & \quad & \quad \left[ \begin{array}{l} 2x = \cfrac{3\pi}{4} + 2 \pi q, \, q \in \mathbb{Z} \\[1em] 2x = -\cfrac{3\pi}{4} + 2 \pi p, \, p \in \mathbb{Z} \end{array} \right. \\[2em] \left[ \begin{array}{l} x = \cfrac{\pi}{8} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z} \\[1em] x = -\cfrac{\pi}{8} + \pi m, \, m \in \mathbb{Z} \end{array} \right. & \quad & \quad \left[ \begin{array}{l} x = \cfrac{3\pi}{8} + \pi q, \, q \in \mathbb{Z} \\[1em] x = -\cfrac{3\pi}{8} + \pi p, \, p \in \mathbb{Z} \end{array} \right. \end{array} $$ Все четыре решения легко объединяются в одно: $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \, n \in \mathbb{Z}$$

б) Отбор корней. $$\frac{\pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \leqslant \frac{3 \pi}{2} \\[1em] 4 \leqslant 1 + 2n \leqslant 11 \\[1em] 3 \leqslant 2n \leqslant 11$$ Получаем, что \(n = 2, \, 3, \, 4, \, 5.\) Соответствующие корни равны: $$ \begin{array}{l l l} n = 2 & \quad & x = \cfrac{\pi}{8} + \cfrac{\pi}{2} = \cfrac{5 \pi}{8} \\[1em] n = 3 & \quad & x = \cfrac{\pi}{8} + \cfrac{3 \pi}{4} = \cfrac{7 \pi}{8} \\[1em] n = 4 & \quad & x = \cfrac{\pi}{8} + \pi = \cfrac{9 \pi}{8} \\[1em] n = 5 & \quad & x = \cfrac{\pi}{8} + \cfrac{5 \pi}{4} = \cfrac{11 \pi}{8} \end{array} $$

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{8} + \cfrac{\pi n}{4}, \, n \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{5 \pi}{8}; \, \cfrac{7 \pi}{8}; \, \cfrac{9 \pi}{8}; \, \cfrac{11 \pi}{8}.\)