Задание 14. Математика. ЕГЭ 2027. Ященко. Вариант 9

а) Так как $$\log_{0{,}25} \left( 5^{\sqrt{x}} - 2 \right) = \log_{\frac{1}{4}} \left( 5^{\sqrt{x}} - 2 \right) = - \frac{1}{2} \log_2 \left( 5^{\sqrt{x}} - 2 \right),$$ то уравнение из условия задания переписывается следующим образом: $$\frac{1}{4} \log_2^2 \left( 5^{\sqrt{x}} - 2 \right) - 2 \log_2 \left( 5^{\sqrt{x}} - 2 \right) + \frac{15}{4} = 0.$$ Вводя замену \(t = \log_2 \left( 5^{\sqrt{x}} - 2 \right)\) получаем следующее уравнение $$t^2 - 8t + 15 = 0.$$ По теореме Виета легко найти его корни: \(t_1 = 3; \, t_2 = 5.\)

Обратная замена $$ \begin{array}{l l | l} \log_2 \left( 5^{\sqrt{x}} - 2 \right) = 3 & \quad & \quad \log_2 \left( 5^{\sqrt{x}} - 2 \right) = 5 \\[1em] 5^{\sqrt{x}} - 2 = 8 & \quad & \quad 5^{\sqrt{x}} - 2 = 32 \\[1em] 5^{\sqrt{x}} = 10 & \quad & \quad 5^{\sqrt{x}} = 34 \\[1em] \sqrt{x} = \log_5 10 & \quad & \quad \sqrt{x} = \log_5 34 \\[1em] x = \log_5^2 10 & \quad & \quad x = \log_5^2 34 \end{array} $$

б) Отбор корней. Сравним первый корень \(\log_5^2 10\) с \(3\): $$\log_5^2 10 \lor 3 \\[1em] \log_5 (5 \cdot 2) \lor \sqrt{3} \\[1em] \log_5 2 \lor \sqrt{3} - 1$$ Так как \(\sqrt{3} > 1{,}7,\) то \(\sqrt{3} - 1 > 0{,}7.\) Получаем $$\log_5 2 \lor \cfrac{7}{10} \\[1em] 2 \lor 5^{\frac{7}{10}} \\[1em] 2^{10} \lor 5^7 \\[1em] 1024 \lor 625 \cdot 125 \\[1em] 1024 < 5^7$$ Поэтому $$\log_5^2 10 < 3$$ Значит \(\log_5^2 10 \notin \left[ 3; \, 7 \right].\)

Рассмотрим второй корень \(\log_5^2 34.\) Получаем, что $$\log_5^2 34 > \log_5^2 25 = 2^2 = 4 > 3.$$ Сравним теперь этот корень с \(7.\) $$ \log_5^2 34 \lor 7 \\[1em] \log_5 34 \lor \sqrt{7} $$ Учитывая, что \(2{,}5 < \sqrt{7},\) получаем $$\log_5 34 \lor \cfrac{25}{10} = \cfrac{5}{2} \\[1em] 34 \lor 5^{\frac{5}{2}} \\[1em] 34^2 \lor 5^5 \\[1em] 1156 \lor 3125 \\[1em] 1156 < 3125$$ Значит, \(\log_5 34 < 2{,}5 < \sqrt{7}\) и, поэтому, \(\log_5^2 34 < 7.\) Приходим к выводу, что \(\log_5^2 34 \in \left[ 3; \, 7 \right].\)

Ответ: а) \(\log_5^2 10; \, \log_5^2 34;\) б) \(\log_5^2 34 .\)