Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 14. Вариант 1
- Просмотры: 381
- Изменено: 17 мая 2025
Основанием прямой треугольной призмы \( ABCA_1 B_1 C_1 \) является равнобедренный треугольник \( ABC \), в котором \( AB = BC = 20 \), \( AC = 32 \). Боковое ребро призмы равно \( 24 \). Точка \( P \) принадлежит ребру \( BB_1 \), причём \( BP : PB_1 = 1 : 3\) .
а) Пусть \( M \) - середине \( A_1 C_1 \). Докажите, что прямые \( MP \) и \( AC \) перпендикулярны.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями \( A_1 B_1 C_1 \) и \( ACP \).
Решение:
а) Угол между скрещивающимися прямыми \(MP\) и \(AB\) равен углу между пересекающимися прямыми \(MP\) и \( A_1B_1\). Т.к. треугольник \( A_1B_1C_1 \) равнобедренный, то \( B_1M \bot A_1C_1 \). По теореме о трёх перпендикулярах \( A_1 C_1 \bot MP \).
б) Проведём через точку \( P \) плоскость \( (EDP) \), параллельную \( (A_1 B_1 C_1) \). Угол между \( (A_1 B_1 C_1) \) и \( (ACP)\) равен углу между \( (EDP)\) и \( (ACP)\). Плоскость \( (ACP) \) пересекает параллельные плоскости \( (EDP)\) и \( (ABC)\) по параллельным прямым: \(AC\) и пралаллельной ей прямой \(m\), проходящей через точку \( P \). Перепендикуляры к точке \(P\) в плоскостях \( (EDP) \) и \( (ACP)\) тогда будут перпендикулярами к параллельным к \(m\) прямым \( ED \) и \(AC\). Перпендикуляр \( PF \) к \( ED\) — это высота равнобедренного треугольника \( EDP \), проведённая к основанию \( ED =32 \). Боковые стороны этого треугольника \( EP =DP = 20 \). По теореме Пифагора \( PF = 12 \).
Пусть \( G\) — середина \( AC \). Тогда \( PG \bot AC \) по соображениям, аналогичным пункта а). Поэтому \( FG = BP = \dfrac{1}{4} BB_1 = 6 \). Окончательно, \( \tan \angle FPG = \dfrac{1}{2} \).
Ответ: б) \( \dfrac{1}{2} \).
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования