Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 14. Вариант 3
- Просмотры: 656
- Изменено: 1 февраля 2025
В правильной треугольной пирамиде \( SABC \) с вершиной \( S \), все рёбра которой равны \( 6 \) , точка \( M \) - середина ребра \( BC \), точка \( O \) - центр основания пирамиды, точка \( F \) делит отрезок \( SO \) в отношении \( 1:2 \), считая от вершины пирамиды.
а) Найдите отношение, в котором плоскость \( CMF \) делит отрезок \( SA \), считая от вершины \( S \).
б) Найдите угол между плоскостью \( MCF \) и плоскостью \( ABC \).
Решение:
а) Точка \( O \) лежит на высоте \( AM \) равностороннего треугольника \( ABC \), причём \( AO : OM = 2 : 1 \). Апофема \( SM \) перпендикулярна \( BC \). Кроме того, \( SM = AM = 6 \sin 60^\circ = 3 \sqrt{3} \).
Плоскость \( (CMF) \) пересекает плоскость \( (SMA) \) по прямой \( MF \). Продлим эту прямую до пересечения с \( SA \) в точке \( G \). В этой точке плоскость \( (CMF) \) пересекает отрезок \(SA\).
Проведём в треугольнике \( SMA \) через точку \( O\) прямую, параллельную \( MG \). Пусть она пересечёт \( SA \) в точке \( K \). По теореме Фалеса с одной стороны \( SG : GK = SF : FO = 1 : 2 \). С другой стороны, \( GK : KA = MO : OA = 1 : 2 \). Поэтому, если \( SG = x \), то \( GK = 2x \), \( KA = 4x \). Отсюда, \( SG : GA = 1 : 6 \).
б) \( (MCF) \cap (ABC) = BC \). Так как \( AM \bot BC \), то по теореме о трёх перпендикулярах \( FM \bot BC \). Отсюда угол между плоскостями \( (MCF) \) и \( (ABC) \) — это угол между прямыми \( MF \) и \( MO \). Итак, \( MO = \dfrac{1}{3} MA = \sqrt{3} \). По теореме Пифагора $$ SO = \sqrt{SM^2 - MO^2} = \sqrt{27 - 3} = 2 \sqrt{6}. $$ $$ FO = \frac{2}{3} SO = \frac{4 \sqrt{6}}{3}. $$ $$ \tan \angle FMO = \frac{FO}{MO} = \frac{4 \sqrt{6}}{3} : \sqrt{3}= \frac{4 \sqrt{2}}{3}. $$ Отсюда \( \angle FMO = \arctan \dfrac{4 \sqrt{2}}{3} \).
Ответ: а) \( 1:6 \); б) \( \arctan \dfrac{4 \sqrt{2}}{3} \).
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования