Задание 14. Математика. ЕГЭ 2025. Основная волна. 27.05.2025

а) Так как точка \(K\) является серединой ребра \(A_1B_1,\) то \(C_1K\) — медиана в равностороннем треугольнике \(A_1B_1C_1,\) а значит \(C_1K \perp A_1B_1.\) Путь \(D\) — середина ребра \(AB.\) Тогда \(DK \parallel BB_1,\) а значит \(DK \perp (A_1B_1C_1),\) и в частности \(DK \perp C_1K.\) Получаем, что \(C_1K \perp (A_1AB).\) Плоскость \((MKC_1)\) перпендикулярна плоскости \((A_1AB),\) так как она проходит через прямую \(C_1K,\) которая перпендикулярна \((A_1AB).\) Кроме того, плоскость \((MKC_1)\) проходит через прямую \(MK.\) С другой стороны, через ту же самую прямую проходит плоскость \(\alpha ,\) которая также перпендикулярна плоскости \((A_1AB).\) Значит, плоскости \(\alpha\) и \(MKC_1\) совпадают и \(C_1 \in \alpha.\)

б) Сечением призмы \(ABCA_1B_1C_1\) плоскостью \(\alpha\) является прямоугольный треугольник \(C_1MK,\) \(C_1K \perp MK.\) Далее, \(AA_1 =12\) и \(A_1M : MA = 1 : 5 \Rightarrow\) \(MA_1 = 2.\) Кроме того \(A_1K = A_1B_1 : 2 = 6.\) Так как \(A_1MK\) — прямоугольный треугольник с прямым углом \(MA_1K,\) то по теореме Пифагора получаем, что \(MK = \sqrt{2^2 + 6^2} = 2 \sqrt{10}.\) Рассматривая равносторонний треугольник \(A_1B_1C_1,\) немедленно получаем, что высота \(C_1K = A_1C_1\sin 60^\circ = 6 \sqrt{3}.\) Значит \(S_{MKC_1} = \cfrac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{10} \cdot 6 \sqrt{3} = 6 \sqrt{30}.\)

Ответ: б) \(6 \sqrt{30}\)