Задание 14. Математика. ЕГЭ 2026. Статград 1.10.25

а)

Плоскость \(ED_1T\) пересекает параллельные грани \(AA_1D_1D\) и \(BB_1C_1C\) по параллельным прямым \(ED_1\) и \(FT.\) Значит, четырёхугольник \(ED_1TF,\) получившийся в сечении параллелепипеда плоскостью \(ETD_1\) является трапецией.

б) Продлим отрезки \(A_1B_1\) и \(D_1T\) до их пересечения в точке \(G.\) Получившийся треугольник \(A_1GD_1\) — прямоугольный, причём \(A_1G = 2 A_1B_1 = 6 \sqrt{2}.\) По теореме Пифагора \(D_1G = \sqrt{4^2 + (6\sqrt{2})^2} = 2 \sqrt{22}.\) Высота \(A_1H,\) опущенная из вершины прямого угла \(A_1\) на гипотенузу \(D_1G\) равна $$A_1H = \frac{4 \cdot 6 \sqrt{2}}{2 \sqrt{22}} = \frac{12}{\sqrt{11}}$$ Прямая \(A_1H\) является проекцией прямой \(EH\) на плоскость \(A_1B_1C_1.\) Так как \(A_1H \perp D_1G,\) то по теореме о трёх перпендикулярах \(EH \perp D_1G.\) А так как прямая \(D_1G\) — это прямая, по которой пересекаются плоскости \(A_1B_1C_1\) и \(ED_1T,\) то угол между этими прямыми будет равен углу между плоскостями \(A_1B_1C_1\) и \(ED_1T.\) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(EA_1H.\) Его катеты \(A_1H = \cfrac{12}{\sqrt{11}}\) и \(EA_1 = \cfrac{5 \cdot 14}{7} = 10.\) Значит $$\angle EHA_1 = \mathrm{arctan} \, \frac{EA_1}{A_1H} = \mathrm{arctan} \, \frac{10 \sqrt{11}}{12} = \mathrm{arctan} \, \frac{5 \sqrt{11}}{6}$$

Ответ: б) \(\mathrm{arctan} \, \cfrac{5 \sqrt{11}}{6}\)