Задание 14. Математика. ЕГЭ 2026. Статград. 12.05.2026

а) Так как плоскости \((AA_1D_1\)) и \((BB_1C_1)\) параллельны, то секущая плоскость \(EFD_1\) пересекает их по параллельным прямым: \(ED_1 \parallel FG,\) где \(G = (EFD_1) \cap B_1C_1.\) Продолжим отрезки \(A_1B_1\) и \(EF\) до их пересечения в точке \(K.\) Прямая \(EK\) — прямая, по которой пересекаются плоскости \(AA_1B_1\) и \(EFD_1.\) Отсюда \(G = D_1K \cap B_1C_1.\)

Из условия задания получаем, что \(A_1E = 12,\) \(AE = 2,\) \(B_1F = 6,\) \(FB = 8.\) Так как \(A_1E = 2 B_1F\) и \(A_1E \parallel B_1F,\) то \(B_1F\) — средняя линия треугольника \(A_1KE.\) Отюсда \(A_1B_1 = B_1K,\) \(EF = FK.\) Рассмотрим треугольник \(KA_1D_1.\) В нём точка \(B_1\) — середина катета \(A_1K.\) Кроме того, \(B_1G \parallel A_1D_1.\) Значит, \(B_1G\) — средняя линия треугольника \(A_1KD_1.\) Поэтому \(A_1D_1 = B_1 C_1 = 2 B_1 G.\) Ч.т.д.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(EA_1K.\) В нём \(A_1K = 2 A_1B_1 = 14 \sqrt{2}.\) По теореме Пифагора $$KE = \sqrt{A_1E^2 + A_1K^2} = \sqrt{12^2 + 2 \cdot 14^2} = 2 \sqrt{134}$$

Опустим из вершины \(D_1\) перпендикуляр на прямую \(KE\) пересечения плоскостей \((AA_1B_1)\) и \((EFD_1).\) Так как \(DA_1 \perp (AA_1B_1)\) (что следует из свойств прямоугольного параллелепипеда), то \(D_1H\) будет наклонной к плоскости \((AA_1B_1),\) \(A_1H\) — проекцией этой наклонной. По теореме о трёх перпендикулярах \(A_1H \perp EF,\) а значит \(\angle A_1HD_1\) и будет искомым углом между плоскостями \((AA_1B_1)\) и \((EFD_1).\) Находим, что $$A_1H = \frac{A_1E \cdot A_1K}{EK} = \frac{12 \cdot 14 \sqrt{2}}{2 \sqrt{134}} = \frac{84}{\sqrt{67}}$$ $$\mathrm{tg} \,\angle A_1HD_1 = \frac{A_1D_1}{A_1H} = \frac{12 \sqrt{67}}{84} = \frac{\sqrt{67}}{7}.$$

Ответ: б) \(\mathrm{arctg} \, \cfrac{\sqrt{67}}{7}\)