Задание 14. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 2

а) Так как \(SA\) — высота пирамиды, то \(SA \perp AD\) и \(SA \perp AB.\) Прямоугольные треугольники \(SAD\) и \(SAB\) равны по двум катетам (\(SA\) — общая сторона, \(AD = AB\) как стороны квадрата \(ABCD).\) Значит \(SD = SB.\) Прямая \(DK\) лежит в плоскости \(SDB.\) Эта плоскость пересекается с плоскостью \(SAC\) по прямой \(SO,\) где \(O\) — точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD.\) Значит \(N \in SO.\) В равнобедренном треугольнике \(DSB\) медианы \(SO\) и \(DK\) пересекаются в точке \(N\) и делятся ей в отношении \(2 : 1.\)

Рассмотрим треугольник \(SAB.\) В нём \(a = EF \parallel SC.\) Проведём в этом треугольнике ещё одну медиану \(AL.\) Она пересечёт медиану \(SO\) в точке \(N.\) Причём \(AN : NL = 2 : 1.\) По теореме Фалеса \(SE : EA = 1 : 2.\) Ч.т.д.

б) Так как в основании пирамиды лежит квадрат, а ребро \(SA \perp DAB,\) то введя декартову систему координат (центр помещаем в точке \(A,\) ось абсцисс — \(AD,\) ось ординат — \(AB,\) ось аппликат — \(AS\)), получаем следующие координаты точек: \(S \, (0, \, 0, \, 3),\) \(K \, (0, \, \sqrt{2}, \, 1{,}5),\) \(D \, (2 \sqrt{2}, \, 0, \, 0),\) \(C \, (2 \sqrt{2}, \, 2 \sqrt{2}, \, 0).\) Тогда $$\overrightarrow{KD} = \left\{ 2 \sqrt{2}, \, - \sqrt{2}, \, -1{,}5 \right\}$$ $$\overrightarrow{SC} = \left\{ 2 \sqrt{2}, \, 2 \sqrt{2}, \, -3 \right\}$$ $$\overrightarrow{KD} \cdot \overrightarrow{SC} = 8 - 4 + 4{,}5 = 8{,}5$$ $$\overrightarrow{KD}^2 = 8 + 2 + 2{,}25 = 12{,}25 = \left( 3{,}5 \right)^2$$ $$\overrightarrow{SC}^2 = 8 + 8 + 9 = 25 = 5^2$$ $$\cos \alpha = \frac{\left| \overrightarrow{KD} \cdot \overrightarrow{SC} \right|}{ \left| \overrightarrow{DK} \right| \cdot \left| \overrightarrow{SC} \right|} = \frac{8{,}5}{3{,}5 \cdot 5} = \frac{17}{35}$$ $$\alpha = \mathrm{arccos} \, \frac{17}{35}$$

Ответ: б) \(\mathrm{arccos} \, \cfrac{17}{35}\)