Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 14. Математика. ЕГЭ. Статград. 14.05.2025
- Просмотры: 1567
- Изменено: 17 мая 2025
Плоскость \(\alpha\) проходит через середину ребра \(AD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) перпендикулярно прямой \(BD_1.\)
- а) Докажите, что угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между прямыми \(BB_1\) и \(B_1D.\)
- б) Найдите угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью \(ABC,\) если объём параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равен \(210\sqrt{2},\) \(AB = 2\sqrt{6}\) и \(AD = 5.\)
Решение:
а) Так как \(\alpha \perp BD_1\) и \((ABC) \perp DD_1,\) то угол между плоскостями \(\alpha\) и \((ABC)\) равен углу \(BD_1D\) между прямыми \(BD_1\) и \(DD_1.\) Но в прямоугольнике \(DD_1B_1B\) угол \(BD_1D\) равен углу \(DB_1B.\) А это — угол между прямыми \(BB_1\) и \(B_1D.\) Ч.т.д.
б) Из приведённых в задаче данных легко найти ребро \(DD_1\): $$DD_1 = \frac{V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}}{AD \cdot AB} = \frac{210 \sqrt{2}}{2 \sqrt{6} \cdot 5} = \frac{21}{\sqrt{3}} = 7 \sqrt{3}.$$ Найдём диагональ \(BD_1{:}\) $$BD_1^2 = AB^2 + AD^2 +DD_1^2 = 25 + 24 + 49 \cdot 3 = 49 \cdot 4 \, \Rightarrow \, BD_1 = 14.$$ Значит $$\cos \angle BD_1D = \frac{DD_1}{BD_1} = \frac{7 \sqrt{3}}{14} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$ И \(\angle BD_1D = 30^\circ .\)
Ответ: б) \(30^\circ .\)
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования