Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 14. Математика. ЕГЭ. Статград. 23.04.2025-1
- Просмотры: 1063
- Изменено: 25 апреля 2025
Через вершину \(S\) прямого конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках \(A\) и \(B.\) Высота конуса \(SO\) равна \(4 \sqrt{3},\) дуга \(AB\) равна \(90^\circ ,\) а хорда \(AB\) равна \(8.\)
- а) Докажите, что угол между плоскостью \(SAB\) и плоскостью основания конуса равен \(60^\circ .\)
- б) Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
Решение:
а) Фигурой, получающейся при сечении плоскостью \(SAB\) конуса из условия задачи, является равнобедренный треугольник \(SAB.\) Отметим на основании \(AB\) середину \(E.\) Тогда \(SE \perp AB.\) С другой стороны, в плоскости основания конуса лежит равнобедренный прямоугольный треугольник \(OAB.\) Для него \(OE \perp AB.\) Т.о. угол между плоскостью сечения \(SAB\) и плоскостью основания конуса — это угол \(SEO\) в прямоугольном треугольнике \(SOE.\) Так как \(\triangle OAB\) равнобедренный и прямоугольный, то \(OE = \cfrac{1}{2} AB = 4.\) Значит $$\tan \angle SEO = \frac{SO}{OE} = \cfrac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \, \Rightarrow \, \angle SEO = 60^\circ .$$
б) Расстояние от центра основания конуса \(O\) до плоскости \(SAB\) — это высота \(OH,\) опущенная на гипотенузу \(SE\) прямоугольного треугольника \(SEO.\) По теореме Пифагора \(SE = \sqrt{(4 \sqrt{3})^2 + 4^2} = 8.\) Поэтому $$OH = \frac{SO \cdot EO}{SE} = \frac{4 \sqrt{3} \cdot 4}{8} = 2 \sqrt{3}.$$
Ответ: \(2 \sqrt{3}\)
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования