Задание 15. Математика. ЕГЭ 2025. Досрочный экзамен. 28.03.2025-1

ОДЗ: $$ \begin{cases} x^2 -13x + 42 > 0 \\ \cfrac{(x - 7)^2}{x-6} > 0 \\ x -6 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x - 7) (x - 6) > 0 \\ \cfrac{x-7}{x-6} > 0 \\ x \neq 6 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; \, 6) \cup (7; \, +\infty) $$ С учётом ОДЗ неравенство из условия задания можно преобразовать следующим образом: $$7 \log_{12} ((x - 7)(x-6)) \leqslant 8 + \log_{12} |x-7|^7 - \log_{12} |x-6| \, \Rightarrow $$ $$7 \log_{12} |x-7| + 7 \log_{12} |x-6| \leqslant 8 +7 \log_{12} |x-7| - \log_{12} |x-6| \, \Rightarrow $$ $$8 \log_{12} |x-6| \leqslant 8 \, \Rightarrow \, \log_{12} |x-6| \leqslant \log_{12} 12$$ $$|x - 6| \leqslant 12 \, \Rightarrow \, -12 \leqslant x - 6 \leqslant 12 \, \Rightarrow \, -6 \leqslant x \leqslant 18$$ Принимая во внимание ограничения, связанные с ОДЗ, получаем, что \(x \in [-6; \, 6) \cup (7; \, 18].\)

Ответ: \([-6; \, 6) \cup (7; \, 18]\)