Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 15. Математика. ЕГЭ 2025. Досрочный экзамен. Резерв. 17.04.2025-1
- Просмотры: 910
- Изменено: 26 апреля 2025
Решите неравенство: $$\frac{105}{\left( 2^{4 - x^2} -1 \right)^2} - \frac{22}{2^{4 - x^2} -1} + 1 \geqslant 0$$
Решение:
ОДЗ: \(2^{4 - x^2} -1 \neq 0 \, \Rightarrow \, x \neq \pm 2.\)
Обозначим \(t = 2^{4 - x^2} -1.\) Неравенство принимает вид $$\frac{105}{t^2} - \frac{22}{t} + 1 \geqslant 0 .$$ На ОДЗ \(t^2 > 0.\) Умножим левую и правую часть получившегося неравенства на \(t^2\). Получаем $$t^2 - 22t + 105 \geqslant 0$$ $$(t-7)(t-15) \geqslant 0$$ Т.е. либо \(t \leqslant 7,\) либо \(t \geqslant 15.\)
Первый случай: \(t \leqslant 7.\) Тогда \(2^{4-x^2} - 1 \leqslant 7 \, \Rightarrow\) \(2^{4-x^2} \leqslant 2^3 \, \Rightarrow\) \(x^2 \geqslant 1 \,\) \(\Rightarrow |x| \geqslant 1.\) С учётом ОДЗ получаем, что \(x \in (-\infty; \, -2) \cup (-2; \, -1] \cup [1; \, 2) \cup (2; \, +\infty).\)
Второй случай: \(t \geqslant 15.\) Тогда \(2^{4-x^2} \geqslant 2^4\) \(\Rightarrow -x^2 \geqslant 0\) \(\Rightarrow x = 0.\)
Собирая всё вместе получаем, что \(x \in (-\infty; \, -2) \cup (-2; \, -1] \cup \{0\} \cup [1; \, 2) \cup (2; \, +\infty).\)
Ответ: \((-\infty; \, -2) \cup (-2; \, -1] \cup \{0\} \cup [1; \, 2) \cup (2; \, +\infty)\)
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования