Задание 15. Математика. ЕГЭ 2025. Основная волна. 26.05.2025

ОДЗ. Из первого логарифма получаем, что $$\frac{3}{x} + 2 > 0 \, \Rightarrow \, \frac{3 + 2x}{x} > 0$$ Т.е. либо $$\begin{cases} 3 + 2x > 0, \\ x > 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x > 0$$ либо $$\begin{cases} 3 + 2x < 0, \\ x < 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x < - \frac{3}{2}$$ Из второго логарифма сразу получаем, что \(x > -2,\) и из третьего — что \(x > -1, \, x \neq 0.\) Собираем всё вместе: $$ \begin{cases} x > - 2 \\ x > -1 \\ x \neq 0 \\ \left[ \begin{align*} x & > 0, \\ x & < - \frac{3}{2} \end{align*} \right. \\ \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x > 0 $$ Т.о. ОДЗ: \(x > 0.\) В дальнейших рассуждениях и вычислениях мы будем считать \(x\) положительной величиной.

Неравенство из условия задания теперь можно записать в виде: $$\log_5 \left( \frac{3 + 2x}{x (x+2)} \right) \leqslant \log_5 \left( \frac{x+1}{x^2} \right) \,\, \Rightarrow $$ $$\frac{3 + 2x}{x (x+2)} \leqslant \frac{x + 1}{x^2}$$ Так как \(x > 0,\) то \(x+2 > 0, \) \(x^2 > 0\) и последнее неравенство можно умножить на положительную величину \(x^2 (x+2),\) получая при этом следующее неравенство $$ 3x + 2x^2 \leqslant (x+1)(x+2) \,\, \Rightarrow \,\, (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2}) \leqslant 0 $$ Отсюда с учётом ОДЗ \((x > 0)\) получаем, что \(0 < x \leqslant \sqrt{2}.\)

Ответ: \((0; \, \sqrt{2}]\)