Задание 15. Математика. ЕГЭ 2025. Основная волна. 27.05.2025-2

$$\frac{2^{3x} - 2 \cdot 4^{x+1} + 5 \cdot 2^{x+2} - 16}{x - 1} \geqslant 0$$ $$\frac{2^{3x} - 8 \cdot 2^{2x} + 20 \cdot 2^{x} - 16}{x - 1} \geqslant 0$$ Рассмотрим числитель дроби. После замены \(2^x = t\) получим полином $$t^3 - 8t^2 + 20t - 16.$$ Подстановкой убеждаемся, что \(t = 4\) является корнем этого полинома. После деления в столбик, получаем, что $$t^3 -8t^2 + 20t - 16 = (t-4)(t^2 -4t +4) = (t-2)^2 (t-4).$$ После обратной замены неравенство из условия задачи запишется в следующем эквивалентном виде $$\frac{\left( 2^x - 2 \right)^2 \left( 2^x - 4\right)}{x-1} \geqslant 0$$ Значит, либо $$ \begin{cases} x > 1 \\ 2^x - 2 = 0 \\ 2^x - 4 \geqslant 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x > 1 \\ x = 1 \\ x \geqslant 2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x \geqslant 2 $$ либо $$ \begin{cases} x < 1 \\ 2^x - 2 = 0 \\ 2^x - 4 \leqslant 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x < 1 \\ x = 1 \\ x \leqslant 2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x < 1 $$

Ответ: \((- \infty ; \, 1) \cup [2; \, + \infty)\)