Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Апробация. 04.03.2026

Замена \(4^x = t,\) причём \(t > 0.\) $$\frac{2 \cdot 4^{-2} \cdot t}{2 \cdot 4^{-2} \cdot t - 1} \geqslant \frac{7}{t - 1} + \frac{40}{t^2 - 9t + 8}$$ $$\frac{7}{t - 1} + \frac{40}{(t - 1)(t - 8)} - \frac{t}{t - 8} \leqslant 0$$ $$\frac{7t - 56 + 40 - t^2 + t}{(t-1)(t-8)} \leqslant 0$$ $$\frac{t^2 - 8t + 16}{(t-1)(t-8)} \geqslant 0$$ $$\frac{(t-4)^2}{(t-1)(t-8)} \geqslant 0$$ Одно решение, обращающее числитель в ноль — это \(t = 4 \Rightarrow 4^x = 4 \Rightarrow x = 1.\)

Для других допустимых \(t\) последнее неравенство справедливо, если $$(t - 1)(t - 8) > 0$$ С учётом ограничения на \(t: t > 0,\) получаем, что либо \(0 < t < 1 \, \Rightarrow\) \(0 < 4^x < 1 \, \Rightarrow \) \(4^{- \infty} < 4^x < 4^0 \, \Rightarrow\) \(-\infty < x < 0;\)

либо \(t > 8 \, \Rightarrow\) \(4^x > 4^{\frac{3}{2}} \, \Rightarrow\) \(x > \cfrac{3}{2}.\)

Ответ: \(\left( - \infty ; \, 0 \right) \cup \left\{ 1 \right\} \cup \left( \cfrac{3}{2}; \, + \infty \right)\)