Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Досрочный экзамен. 27.03.2026

ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 1 \neq 1 \\ x^2 - 5x + 7 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \left(x - \cfrac{5}{2} \right)^2 + \cfrac{3}{4} > 0 \\ x > 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x > 0 $$ Дальнейшие вычисления проводим в предположении, что \(x > 0.\)

Неравенство из условия задания можно переписать в виде $$\log_{x + 1} \left( x^2 -5x + 7 \right) - \log_{x + 1} x \leqslant 0.$$ Так как логарифм — монотонная функция на своей области определения, то последнее неравенство имеет такие же знаки, что и эквивалентное ему неравенство $$(x + 1 - 1) \left( x^2 -5x + 7 - x \right) \leqslant 0$$ Получаем, что $$x \left( x^2 - 6x + 7 \right) \leqslant 0$$ $$x \left( (x - 3)^2 - 2 \right) \leqslant 0$$ $$x \left( x - 3 - \sqrt{2} \right) \left( x - 3 + \sqrt{2} \right) \leqslant 0$$ Решая получившееся неравенство методом интервалов, получаем

Ответ: \(\left[ 3 - \sqrt{2} ; \, 3 + \sqrt{2} \right] .\)