Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 1

Преобразуем знаменатель: $$ \log_{\frac{1}{6}}^2 \left( 5^x - 2 \right) + \log_{\frac{1}{6}} \left( 5^x - 2 \right)^2 + 1 = $$ $$\log_{\frac{1}{6}}^2 \left( 5^x - 2 \right) + 2 \log_{\frac{1}{6}} \left( 5^x - 2 \right) + 1 = $$ $$ \left( \log_{\frac{1}{6}} \left( 5^x - 2 \right) + 1 \right)^2$$ Теперь легко найти ОДЗ: $$ \begin{cases} 5^x - 2 > 0 \\ \log_{\frac{1}{6}} \left( 5^x - 2 \right) + 1 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow $$ $$ \begin{cases} 5^x > 2 \\ 5^x - 2 \neq 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \log_5 2 \\ x \neq \log_5 8 \end{cases} $$ На ОДЗ знаменатель положителен. Поэтому наше неравенство эквивалентно $$ \begin{cases} 9^x - 3^{x+2} + 8 \leqslant 0 \\ x > \log_5 2 \\ x \neq \log_5 8 \end{cases} $$ Преобразуем числитель: \(9^x - 3^{x+2} + 8 = \) \( 3^{2x} - 9 \cdot 3^x + 8 = \) \( \left( 3^x - 1\right) \left( 3^x - 8\right) \leqslant 0 \, \Rightarrow\) \(1 \leqslant 3^x \leqslant 8 \, \Rightarrow \) \(0 \leqslant x \leqslant \log_3 8.\) Исходное неравенство выполняется при $$ \begin{cases} 0 \leqslant x \leqslant \log_3 8 \\ x > \log_5 2 \\ x \neq \log_5 8 \end{cases} $$ Учитывая, что \( 0 < \log_5 2 < \log_5 8 < \log_3 8,\) получаем, окончательно что неравенство справедливо, если \( x \in \left( \log_5 2; \, \log_5 8 \right) \cup \left( \log_5 8 ; \, \log_3 8 \right].\)

Ответ: \(\left( \log_5 2; \, \log_5 8 \right) \cup \left( \log_5 8 ; \, \log_3 8 \right]\)