Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 10

ОДЗ: \(x^2 - 9 \neq 0 \, \Rightarrow \) \(x \neq \pm 3.\) Также \(|x| > 0 \, \Rightarrow \) \( x \neq 0.\)

Так как \( \log_{\sqrt{3}} \left( |x| \right) = 2 \log_3 \left( |x| \right) ,\) то наше неравенство можно преобразовать следующим образом: $$\frac{x^2 - 4 \log_3^2 \left( |x| \right)}{x^2 - 9} - 1 \geqslant 0$$ $$\frac{\left( 3 - 2 \log_3 \left( |x| \right) \right) \left( 3 + 2 \log_3 \left( |x| \right) \right)}{(x-3)(x+3)} \geqslant 0$$ Находим точки, в которых числитель обращается в нуль: \(3 - 2 \log_3 \left( |x| \right) = 0 \, \Rightarrow \) \( |x| = 3 \sqrt{3} \, \Rightarrow \) \( x = \pm 3 \sqrt{3}.\) Также \(3 + 2 \log_3 \left( |x| \right) = 0 \, \Rightarrow \) \( |x| = \cfrac{1}{3 \sqrt{3}} \, \Rightarrow \) \( x = \pm \cfrac{1}{3 \sqrt{3}}.\)

Отмечаем корни числителя и особые точки неравенства на числовой прямой. Считаем знаки на каждом интервале:

Ответ: \(\left[ -3 \sqrt{3} ; \, -3 \right) \cup \left[ - \cfrac{1}{3 \sqrt{3}} ; \, 0 \right) \cup \left( 0; \, \cfrac{1}{3 \sqrt{3}} \right] \cup \left( 3 ; \, 3 \sqrt{3} \right]\)