Задание 15. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 11

Учитывая, что \(5^{\frac{8}{x}} > 0 \) для всех действительных чисел, получаем: $$\left. 16 \cdot 5 \cdot 5^{- \frac{8}{x}} - 189 \cdot 4^{- \frac{4}{x}} \cdot 5^{- \frac{4}{x}} + 25 \cdot 4 \cdot 4^{- \frac{8}{x}} \leqslant 0 \,\, \right| \cdot 5^{\frac{8}{x}}$$ $$100 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^{\frac{8}{x}} - 189 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^{\frac{4}{x}} + 80 \leqslant 0$$ Заменой $$ t = \left( \frac{5}{4} \right)^{\frac{4}{x}} $$ получаем квадратное неравенство $$100 t^2 - 189 t + 80 \leqslant 0$$ Находим корни многочлена \(100 t^2 - 189 t + 80 : \) $$D = (-189)^2 - 4 \cdot 100 \cdot 80 = 3969, \, \sqrt{D} = 61$$ $$t_1 = \frac{189 - 61}{200} = \frac{16}{25}, \,\, t_2 = \frac{189 + 61}{200} = \frac{5}{4}$$ Поэтому $$100 \cdot \left(t - \frac{16}{25} \right) \left(t - \frac{5}{4} \right) \leqslant 0$$ $$\frac{16}{25} \leqslant t \leqslant \frac{5}{4}$$ Обратная замена: $$\left( \frac{4}{5} \right)^2 \leqslant \left( \frac{5}{4} \right)^{\frac{4}{x}} \leqslant \frac{5}{4}$$ Отсюда получаем следующую систему неравенств: $$ \begin{cases} \cfrac{4}{x} \geqslant -2 \\ \cfrac{4}{x} \leqslant 1 \end{cases} $$ Первое неравенство дает $$\frac{4}{x} \geqslant -2$$ $$\frac{4 + 2x}{x} \geqslant 0$$ Решением его является множество \(A = \left( - \infty ; \, -2 \right] \cup \left( 0 ; \, + \infty \right).\)

Второе неравенство $$\frac{4}{x} \leqslant 1$$ $$\frac{4 - x}{x} \leqslant 0$$ Его решение — множество \( B = \left( - \infty ; \, 0 \right) \cup \left[ 4 ; \, + \infty \right) .\)

Окончательно. Решение исходного неравенства — это \(A \cap B = \left( - \infty ; \, -2 \right] \cup \left[ 4 ; \, + \infty \right).\)

Ответ: \(\left( - \infty ; \, -2 \right] \cup \left[ 4 ; \, + \infty \right)\)